岡山大学 2024年度
文理共通数学 第1問

解答

解法1（標準解法）

(1)

$X=x^3$ とおくと

である。したがって $x^{3m}-1$ は $x^3-1$ で割り切れる。

(2)

$x^2+x+1=0$ とみなして余りを考えると，$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ より $x^3$ の余りは $1$ である。よって $n$ を3で割った余りで分ければよい。

したがって余りは，$n\equiv 0$ のとき $0$，$n\equiv 1$ のとき $x-1$，$n\equiv 2$ のとき $-x-2$ である。

(3)

$x^2-x+1=0$ とみなすと，$x^2=x-1$ であるから

である。したがって $x^6$ の余りは $1$ である。$2024=6\cdot 337+2$ より

の余りは $x^2-1$ の余りに等しい。$x^2=x-1$ を用いて

であるから，求める余りは $x-2$ である。

解法2（1の累乗根で余りを決定）

(1)

$x^3$を一つの文字とみれば

よって$x^{3m}-1$は$x^3-1$で割り切れる。

(2)

${\omega }^2+\omega +1=0$を満たす複素数$\omega$をとる。${\omega }^3=1$かつ$\omega \ne 1$で、$x^2+x+1$の2根は$\omega ,{\omega }^2$である。

$x^n-1$を$x^2+x+1$で割った余りを$R(x)$とする。$R$は1次以下であり、

を満たす。$n$を3で割った余りごとに調べる。

最後の行では${\omega }^2=-\omega -1$より${\omega }^2-1=-\omega -2$を用いた。2つの異なる点で値が一致する1次式は一意なので、

が求める余りである。

(3)

$x^2-x+1=0$の根を$\zeta$とすると

$2024\equiv 2(\mathrm{mod}6)$なので

もう一つの根についても同じ等式が成り立つ。したがって、余りは1次以下であることから一意に

と定まる。