広島大学 2020年度文理共通数学文系第2問・理系第1問解答・解説

問題

$a, b$ を正の定数とする。 $0 < θ < π$ を満たす実数 $θ$ に対し、平面上で次の三つの条件を満たす三角形 $P A B$ と、この三角形と辺 $A B$ を共有する長方形 $A B C D$ を考える。

(i) $P A = a$ 、 $P B = b$ 、 $∠ A P B = θ$ である。

(ii) 2点 $C, D$ はともに、直線 $A B$ に関して点 $P$ と反対側にある。

(iii) $A B = 3 A D$ である。

三角形 $P A B$ の面積と長方形 $A B C D$ の面積の和を $S$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 辺 $A B$ の長さを $a, b, θ$ を用いて表せ。

(2) $S$ を $a, b, θ$ を用いて表せ。

(3) $θ$ が $0 < θ < π$ の範囲を動くときの $S$ の最大値を $M$ とし、 $S$ が最大値 $M$ をとるときの $θ$ の値を $β$ とする。 $M$ を $a, b$ を用いて表せ。また、 $sin β$ および $cos β$ の値を求めよ。

(4) $a = 16$ 、 $b = 25$ とする。 $θ = β$ のとき、点 $P$ と直線 $A B$ の距離を求めよ。

出典：広島大学 2020年度前期文理共通文系第2問・理系第1問

方針

解法1（三角関数を合成する）

余弦定理で $A B^{2}$ を求め、長方形の面積を $A B^{2} /3$ と表す。面積和を $3 sin θ - 4 cos θ$ の形へ整理して三角関数を合成し、最大時の角を決める。最後は三角形の二通りの面積表示から高さを求める。

解法2（内積の不等式で最大値を得る）

面積表示までは余弦定理で求める。最大値については、単位ベクトル $(sin θ, cos θ)$ とベクトル $(3, - 4)$ の内積をコーシー・シュワルツの不等式で評価し、等号条件から $β$ を決める。

解答

解法1（三角関数を合成する）

配置は次図のようになる。

(1)

余弦定理より

A B = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos θ .

(2)

三角形の面積は $ab sin θ /2$ である。また $A D = A B /3$ だから、長方形の面積は $A B^{2} /3$ である。よって

S = \frac{1}{2} ab sin θ + \frac{a ^{2} + b ^{2} - 2 ab cos θ}{3} .

(3)

S = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{3} + \frac{ab}{6} (3 sin θ - 4 cos θ) .

ここで $α$ を

cos α = \frac{3}{5}, sin α = - \frac{4}{5}

を満たす第4象限の角とすると

3 sin θ - 4 cos θ = 5 sin (θ + α) .

$0 < θ < π$ の範囲で右辺は最大値5をとる。したがって

M = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{3} + \frac{5}{6} ab = \frac{2 a ^{2} + 5 ab + 2 b ^{2}}{6} .

最大時には

sin β = \frac{3}{5}, cos β = - \frac{4}{5} .

(4)

A B^{2} = 1 6^{2} + 2 5^{2} - 2 \cdot 16 \cdot 25 (- \frac{4}{5}) = 1521

より $A B = 39$ である。求める距離を $h$ とすると

\frac{1}{2} \cdot 39 h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 25 \cdot \frac{3}{5} .

よって

h = \frac{80}{13} .

解法2（内積の不等式で最大値を得る）

(1)

余弦定理より

A B = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos θ .

(2)

また $A D = A B /3$ であるから、三角形と長方形の面積を足して

S = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{3} + \frac{ab}{6} (3 sin θ - 4 cos θ) .

(3)

コーシー・シュワルツの不等式より

3 sin θ - 4 cos θ ≦ 3^{2} + (- 4)^{2} sin^{2} θ + cos^{2} θ = 5.

等号は

(sin θ, cos θ) = (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})

のときに成り立つ。この組は $0 < θ < π$ を満たすので、

M = \frac{2 a ^{2} + 5 ab + 2 b ^{2}}{6}, sin β = \frac{3}{5}, cos β = - \frac{4}{5} .

(4)

$a = 16, b = 25$ のとき

A B = 39, [△ P A B] = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 25 \cdot \frac{3}{5} = 120.

したがって、点 $P$ から直線 $A B$ までの距離は

\frac{2 [ △ P A B ]}{A B} = \frac{240}{39} = \frac{80}{13} .

広島大学 2020年度文理共通数学 文系第2問・理系第1問

問題

方針

解法1（三角関数を合成する）

解法2（内積の不等式で最大値を得る）

解答

解法1（三角関数を合成する）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（内積の不等式で最大値を得る）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2020年度
文理共通数学文系第2問・理系第1問