広島大学 2022年度文理共通数学第2問解答・解説

問題

$a$ を正の実数， $t$ を $0 < t < 1$ を満たす実数とする．座標平面上の $3$ 点 $A$ $(0, a),$ $B$ $(- 1, 0),$ $C$ $(1, 0)$ を頂点とする二等辺三角形の内接円を $S$ とし，その中心が $I$ $(0, t)$ であるとする．このとき，次の問いに答えよ．(1)　 $∠ I B C$ を $θ$ とおく． $t$ と $a$ を，それぞれ $θ$ を用いて表せ．(2)　 $a$ を $t$ を用いて表せ．(3)　 $△ A B C$ の重心が内接円 $S$ の周上にあるとき， $t$ の値を求めよ．(4)　 $△ A B C$ の垂心が $S$ の周上にあるとき， $t$ の値を求めよ．ただし，三角形の各頂点から対辺，またはその延長に下ろした $3$ 本の垂線は $1$ 点で交わることが知られており，その交わる点を三角形の垂心と呼ぶ．(5)　 $△ A B C$ の外心が $S$ の周上にあるとき， $t$ のとり得る値をすべて求めよ．

出典：広島大学 2022年度前期文理共通第2問

方針

解法1（角の二等分線と三角比を使う方法）

対称性から内心，重心，垂心，外心はいずれも $y$ 軸上にある。まず $tan θ = t$ と $a = tan 2 θ$ を得て， $a = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}$ に直す。各中心の $y$ 座標が内接円の周上にある条件を解く。

解法2（面積と半周長から内接円半径を出す方法）

(1)は角の二等分線から三角比を読む。(2)は三角形の面積が「内接円半径×半周長」であることを使い、三角関数の倍角公式を使わずに $a$ と $t$ の関係を導く。その後、対称軸上にある重心・垂心・外心の $y$ 座標を内接円の上下端 $0, 2 t$ と比較する。

解答

解法1（角の二等分線と三角比を使う方法）

(1)

$B C$ は $x$ 軸上にあり， $B I = (1, t)$ であるから

tan θ = t

である。よって

t = tan θ

である。また， $B I$ は $∠ A B C$ の二等分線であるから

∠ A B C = 2 θ

である。直線 $B A$ の傾きは $a$ であるから

a = tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ}

である。

(2)

(1)より $t = tan θ$ であるから

a = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}

である。

(3)

重心は

(0, \frac{a}{3})

である。内接円 $S$ の中心は $(0, t)$ ，半径は $t$ であるから，重心が周上にある条件は

\frac{a}{3} - t = t

である。 $a > 0$ より

a = 6 t

となる。これを(2)に代入すると

\frac{2 t}{1 - t ^{2}} = 6 t

であり， $t > 0$ より

t = \frac{6}{3}

である。

(4)

対称性より垂心は $y$ 軸上にある。直線 $A C$ の傾きは $- a$ であるから， $B$ を通る高さは傾き $\frac{1}{a}$ の直線である。したがって垂心は

(0, \frac{1}{a})

である。これが内接円 $S$ の周上にある条件は

\frac{1}{a} - t = t

であり， $\frac{1}{a} > 0$ より

\frac{1}{a} = 2 t

である。よって(2)を用いて

\frac{2 t}{1 - t ^{2}} = \frac{1}{2 t}

となり，

t = \frac{5}{5}

である。

(5)

外心を $(0, u)$ とおく。 $A$ と $B$ から等距離であるから

(u - a)^{2} = 1 + u^{2}

であり，

u = \frac{a ^{2} - 1}{2 a}

である。外心が内接円 $S$ の周上にある条件は

∣ u - t ∣ = t

であるから， $u = 0$ または $u = 2 t$ である。

$u = 0$ のとき， $a = 1$ である。(2)より

\frac{2 t}{1 - t ^{2}} = 1

となるので

t = 2 - 1

である。

$u = 2 t$ のとき，(2)を用いて整理すると

7 t^{4} - 2 t^{2} - 1 = 0

である。 $t^{2}$ について解くと， $0 < t < 1$ より

t^{2} = \frac{1 + 2 2}{7}

である。したがって

t = \frac{1 + 2 2}{7}

である。以上より，求める値は

t = 2 - 1, t = \frac{1 + 2 2}{7}

である。

解法2（面積と半周長から内接円半径を出す方法）

(1)

$B I = (1, t)$ であり、 $B I$ は頂点 $B$ の角の二等分線だから

t = tan θ, a = tan 2 θ .

(2)

$A B = A C = 1 + a^{2}$ 、 $B C = 2$ で、三角形の面積は $a$ である。「面積＝内接円半径×半周長」より

a = t (1 + 1 + a^{2}) ⟹ (a - t)^{2} = t^{2} (1 + a^{2}) ⟹ a = \frac{2 t}{1 - t ^{2}} .

(3)

重心の $y$ 座標は $a /3$ 、円の $y$ 軸上の周上点は $0, 2 t$ だから

\frac{a}{3} = 2 t ⟹ \frac{2 t}{1 - t ^{2}} = 6 t ⟹ t = \frac{6}{3} .

(4)

垂心は $(0, 1/ a)$ だから周上条件は $1/ a = 2 t$ 。よって

\frac{2 t}{1 - t ^{2}} = \frac{1}{2 t} ⟹ t = \frac{5}{5} .

(5)

外心 $(0, u)$ について、 $O A = O B$ と周上条件から

u = \frac{a ^{2} - 1}{2 a}, u = 0 または u = 2 t .

前者では $a = 1$ より $t = 2 - 1$ 。後者では

7 t^{4} - 2 t^{2} - 1 = 0 ⟹ t = \frac{1 + 2 2}{7} .

したがって

t = 2 - 1, t = \frac{1 + 2 2}{7} .

広島大学 2022年度文理共通数学 第2問

問題

方針

解法1（角の二等分線と三角比を使う方法）

解法2（面積と半周長から内接円半径を出す方法）

解答

解法1（角の二等分線と三角比を使う方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

解法2（面積と半周長から内接円半径を出す方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

広島大学 2022年度
文理共通数学第2問