広島大学 2022年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする．袋の中に赤玉が $3$ 個，白玉が $(n + 5)$ 個，合計で $(n + 8)$ 個の玉が入っている．また，空箱 $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $F$ が用意されている．この準備の下で次の試行１，試行２を順に行う．試行１　袋から玉を $1$ 個取り出して，箱 $A$ に入れる．箱 $A$ に入れた玉が白玉なら $i = 0,$ 赤玉なら $i = 1$ とおく．試行２　次に，袋から白玉を $n$ 個取り出して，箱 $B$ に入れる．この時点で，袋に残った玉 $7$ 個のうち，赤玉は $(3 - i)$ 個，白玉は $(4 + i)$ 個である．この $7$ 個の中から $2$ 個の玉を取り出して，箱 $C$ に入れる．試行２を終えたら，箱 $A$ と箱 $C$ の玉の色を記録して，箱 $A,$ $B,$ $C$ の玉をすべて元通り袋に戻す．そして次の試行３を行う．試行３　袋から玉を $1$ 個取り出して，箱 $D$ に入れる．次に，袋から玉を $n$ 個取り出して，箱 $E$ に入れる．最後に袋から玉を $2$ 個取り出して，箱 $F$ に入れる．このとき，次の問いに答えよ．(1)　 $i = 0$ であったとき，試行２において箱 $C$ に赤玉が $2$ 個入る条件付き確率 $p_{0}$ を求めよ．また， $i = 1$ であったとき，試行２において箱 $C$ に赤玉が $2$ 個入る条件付き確率 $p_{1}$ を求めよ．(2)　試行１において，箱 $A$ に赤玉が入る確率 $q_{A}$ を $n$ を用いて表せ．また，試行１，試行２を順に行うとき，箱 $C$ に赤玉が $2$ 個入る確率 $q_{C}$ を $n$ を用いて表せ．(3)　試行３において，箱 $D$ に赤玉が入るという事象を事象 $X,$ 箱 $E$ に入る玉がすべて白であるという事象を事象 $Y,$ 箱 $F$ に赤玉が $2$ 個入るという事象を事象 $Z$ と呼ぶことにする．事象 $X$ と事象 $Y$ がともに起こる確率 $P (X \cap Y)$ を $n$ を用いて表せ．また，事象 $Y$ と事象 $Z$ がともに起こる確率 $P (Y \cap Z)$ を $n$ を用いて表せ．(4)　(3)の事象 $Y$ が起こったとき，(3)の事象 $X$ が起こる条件付き確率 $P_{Y} (X)$ と，(3)の事象 $Z$ が起こる条件付き確率 $P_{Y} (Z)$ をそれぞれ求めよ．

出典：広島大学 2022年度前期文理共通第3問

方針

解法1（箱Dの色で場合分けする方法）

試行2は試行1後の赤玉数で場合分けする。試行3は，箱 $D$ の玉が赤か白かで場合分けし，箱 $E$ に白玉だけが入る確率を組合せで表す。最後に $P (Y)$ を求めて条件付き確率にする。

解法2（事象Yを先に条件として固定する方法）

(1)(2)は全確率で計算する。(3)(4)は先に事象 $Y$ を固定すると、残る8個が赤3・白5となり、 $X, Z$ の条件付き確率を直接読める。

解答

解法1（箱Dの色で場合分けする方法）

(1)

$i = 0$ のとき，残った7個のうち赤玉は3個であるから

p_{0} = \frac{_{3} C _{2}}{_{7} C _{2}} = \frac{1}{7}

である。 $i = 1$ のとき，残った7個のうち赤玉は2個であるから

p_{1} = \frac{_{2} C _{2}}{_{7} C _{2}} = \frac{1}{21}

である。

(2)

試行1で箱 $A$ に赤玉が入る確率は

q_{A} = \frac{3}{n + 8}

である。また

q_{C} = \frac{n + 5}{n + 8} p_{0} + \frac{3}{n + 8} p_{1}

であるから

q_{C} = \frac{n + 5}{7 ( n + 8 )} + \frac{3}{21 ( n + 8 )} = \frac{n + 6}{7 ( n + 8 )}

である。

(3)

まず $X \cap Y$ を考える。箱 $D$ に赤玉が入り，その後，残った $n + 7$ 個から箱 $E$ に入る $n$ 個がすべて白である確率は

P (X \cap Y) = \frac{3}{n + 8} \cdot \frac{_{n + 5} C _{n}}{_{n + 7} C _{n}} = \frac{126}{( n + 8 ) ( n + 7 ) ( n + 6 )}

である。

次に $Y \cap Z$ を考える。箱 $D$ に赤玉が入る場合の寄与は

\frac{3}{n + 8} \cdot \frac{_{n + 5} C _{n}}{_{n + 7} C _{n}} \cdot \frac{_{2} C _{2}}{_{7} C _{2}} = \frac{6}{( n + 8 ) ( n + 7 ) ( n + 6 )}

である。箱 $D$ に白玉が入る場合の寄与は

\frac{n + 5}{n + 8} \cdot \frac{_{n + 4} C _{n}}{_{n + 7} C _{n}} \cdot \frac{_{3} C _{2}}{_{7} C _{2}} = \frac{30}{( n + 8 ) ( n + 7 ) ( n + 6 )}

である。したがって

P (Y \cap Z) = \frac{36}{( n + 8 ) ( n + 7 ) ( n + 6 )}

である。

(4)

箱 $E$ に入る $n$ 個がすべて白である確率は

P (Y) = \frac{_{n + 5} C _{n}}{_{n + 8} C _{n}} = \frac{336}{( n + 8 ) ( n + 7 ) ( n + 6 )}

である。よって

P_{Y} (X) = \frac{P ( X \cap Y )}{P ( Y )} = \frac{126}{336} = \frac{3}{8}

であり，

P_{Y} (Z) = \frac{P ( Y \cap Z )}{P ( Y )} = \frac{36}{336} = \frac{3}{28}

である。

解法2（事象Yを先に条件として固定する方法）

(1)

$i = 0$ なら残りは赤3・白4、 $i = 1$ なら赤2・白5だから

p_{0} = \frac{_{3} C _{2}}{_{7} C _{2}} = \frac{1}{7}, p_{1} = \frac{_{2} C _{2}}{_{7} C _{2}} = \frac{1}{21} .

(2)

q_{A} = \frac{3}{n + 8}, q_{C} = \frac{n + 5}{n + 8} \cdot \frac{1}{7} + \frac{3}{n + 8} \cdot \frac{1}{21} = \frac{n + 6}{7 ( n + 8 )} .

(3)

$Y$ の下で残る8個は赤3・白5である。したがって

P (Y) P_{Y} (X) P (X \cap Y) P (Y \cap Z) = \frac{_{n + 5} C _{n}}{_{n + 8} C _{n}} = \frac{336}{( n + 8 ) ( n + 7 ) ( n + 6 )}, = \frac{3}{8}, P_{Y} (Z) = \frac{_{3} C _{2}}{_{8} C _{2}} = \frac{3}{28}, = \frac{126}{( n + 8 ) ( n + 7 ) ( n + 6 )}, = \frac{36}{( n + 8 ) ( n + 7 ) ( n + 6 )} .

(4)

上の2行目より

P_{Y} (X) = \frac{3}{8}, P_{Y} (Z) = \frac{3}{28} .

広島大学 2022年度文理共通数学 第3問

問題

方針

解法1（箱Dの色で場合分けする方法）

解法2（事象Yを先に条件として固定する方法）

解答

解法1（箱Dの色で場合分けする方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（事象Yを先に条件として固定する方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2022年度
文理共通数学第3問