広島大学 2022年度文系数学第1問解答・解説

問題

正の整数 $N$ に対し， $N$ を $7$ 進法で表したときの数字の並びを $10$ 進法で表された数だと思って読みとった数を $M$ とする．例えば， $N = 7$ のとき， $N$ は $7$ 進法で $1 0_{(7)}$ と表されるので $M = 10$ である．このとき，次の問いに答えよ．(1)　 $M = 100$ のとき $N$ の値を求めよ．また， $N = 100$ のとき $M$ の値を求めよ．(2)　 $N$ は $7$ 進法では $3$ 桁で表され， $10$ 進法では $2$ 桁で表されるとする． $2 N = M$ が成り立つとき， $N$ の値を求めよ．(3)　 $7$ 進法で $3$ 桁で表される $N$ のうちで， $2 N = M$ が成り立つ最大のものを求めよ．(4)　 $N$ は $7$ 進法で $4$ 桁で表されるとする．このとき， $2 N < M$ となることを示せ．

出典：広島大学 2022年度前期文系第1問

方針

解法1（7進法の各桁を文字で置く方法）

7進法の各桁を文字で置き， $N$ と $M$ をそれぞれ7の位取りと10の位取りで表す。 $2 N = M$ は桁の条件つき一次式になるので，桁の範囲で絞り込む。

解法2（桁の寄与をまとめて最大化する方法）

7進3桁を $ab c_{(7)}$ と置き、差 $M - 2 N$ を桁ごとの寄与としてまとめる。 $2 N = M$ から $c = 2 a - 4 b$ を得た後、(2)は10進2桁の制約、(3)は $N = 51 a + 3 b$ の辞書式最大化に使う。(4)も同じ差の最小評価で処理する。

解答

解法1（7進法の各桁を文字で置く方法）

(1)

$M = 100$ のとき， $N$ の7進法表示は $10 0_{(7)}$ であるから

N = 7^{2} = 49

である。また

100 = 2 \cdot 7^{2} + 0 \cdot 7 + 2

より， $N = 100$ の7進法表示は $20 2_{(7)}$ である。したがって

M = 202

である。

(2)

$N$ の7進法表示を $ab c_{(7)}$ とする。ただし $a$ は1から6までの整数， $b, c$ は0から6までの整数である。このとき

N = 49 a + 7 b + c, M = 100 a + 10 b + c

である。 $2 N = M$ より

98 a + 14 b + 2 c = 100 a + 10 b + c

すなわち

c = 2 a - 4 b

である。さらに $N$ は10進法で2桁であるから $N < 100$ である。条件を満たす桁を調べると， $b = 0, a = 1, c = 2$ のみが可能である。よって

N = 10 2_{(7)} = 51

である。

(3)

(2)と同じく $N = ab c_{(7)}$ とおくと

c = 2 a - 4 b

である。最大の $N = 49 a + 7 b + c$ を得るには，まず $a$ を最大にする。 $a = 6$ のとき

c = 12 - 4 b

であり， $0 ≦ c ≦ 6$ から $b = 2, 3$ が可能である。このうち $N$ を大きくするのは $b = 3$ で，そのとき $c = 0$ である。したがって最大のものは

63 0_{(7)} = 6 \cdot 49 + 3 \cdot 7 = 315

である。

(4)

$N$ の7進法表示を $ab c d_{(7)}$ とする。ただし $a$ は1から6までの整数， $b, c, d$ は0から6までの整数である。このとき

N = 343 a + 49 b + 7 c + d, M = 1000 a + 100 b + 10 c + d

である。よって

M - 2 N = 314 a + 2 b - 4 c - d

である。ここで $a ≧ 1, b ≧ 0, c ≦ 6, d ≦ 6$ より

M - 2 N ≧ 314 - 24 - 6 = 284 > 0

である。したがって

2 N < M

である。

解法2（桁の寄与をまとめて最大化する方法）

(1)

位取りをそのまま読み替えると

M = 100 ⟹ N = 10 0_{(7)} = 49, N = 100 = 20 2_{(7)} ⟹ M = 202.

(2)

$N = ab c_{(7)}$ とおけば

M - 2 N = (100 a + 10 b + c) - 2 (49 a + 7 b + c) = 2 a - 4 b - c,

よって $c = 2 a - 4 b$ 。 $N < 100$ から $a ≦ 2$ である。 $a = 1$ では $(b, c) = (0, 2)$ 、 $a = 2$ では $(b, c) = (0, 4), (1, 0)$ だが後者2組は $N ≧ 100$ 。したがって

N = 10 2_{(7)} = 51.

(3)

同じ関係を使うと

N = 49 a + 7 b + c = 51 a + 3 b .

最大の $a = 6$ に対し $0 ≦ 12 - 4 b ≦ 6$ だから $b = 2, 3$ 。大きい方の $b = 3$ では $c = 0$ なので

max N = 63 0_{(7)} = 315.

(4)

$N = ab c d_{(7)}$ とすれば

M - 2 N = 314 a + 2 b - 4 c - d ≧ 314 - 24 - 6 = 284 > 0.

ゆえに常に $2 N < M$ である。

広島大学 2022年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1（7進法の各桁を文字で置く方法）

解法2（桁の寄与をまとめて最大化する方法）

解答

解法1（7進法の各桁を文字で置く方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（桁の寄与をまとめて最大化する方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2022年度
文系数学第1問