広島大学 2022年度 前期文系数学 第1問

(1)
$M=100$のとき，$N$の7進法表示は${100}_{(7)}$であるから$$N=7^2=49$$である。また$$100=2\cdot 7^2+0\cdot 7+2$$より，$N=100$の7進法表示は${202}_{(7)}$である。したがって$$M=202$$である。

(2)
$N$の7進法表示を$ab{c}_{(7)}$とする。ただし$a$は1から6までの整数，$b,c$は0から6までの整数である。このとき$$N=49a+7b+c,M=100a+10b+c$$である。$2N=M$より$$98a+14b+2c=100a+10b+c$$すなわち$$c=2a-4b$$である。さらに$N$は10進法で2桁であるから$N<100$である。条件を満たす桁を調べると，$b=0,a=1,c=2$のみが可能である。よって$$N={102}_{(7)}=51$$である。

(3)
(2)と同じく$N=ab{c}_{(7)}$とおくと$$c=2a-4b$$である。最大の$N=49a+7b+c$を得るには，まず$a$を最大にする。$a=6$のとき$$c=12-4b$$であり，$0\leqq c\leqq 6$から$b=2,3$が可能である。このうち$N$を大きくするのは$b=3$で，そのとき$c=0$である。したがって最大のものは$${630}_{(7)}=6\cdot 49+3\cdot 7=315$$である。

(4)
$N$の7進法表示を$abc{d}_{(7)}$とする。ただし$a$は1から6までの整数，$b,c,d$は0から6までの整数である。このとき$$N=343a+49b+7c+d,M=1000a+100b+10c+d$$である。よって$$M-2N=314a+2b-4c-d$$である。ここで$a\geqq 1,b\geqq 0,c\leqq 6,d\leqq 6$より$$M-2N\geqq 314-24-6=284>0$$である。したがって$$2N<M$$である。

7進3桁を $ab{c}_{(7)}$ と置き、差 $M-2N$ を桁ごとの寄与としてまとめる。
$2N=M$ から $c=2a-4b$ を得た後、(2)は10進2桁の制約、
(3)は $N=51a+3b$ の辞書式最大化に使う。(4)も同じ差の最小評価で処理する。

(1)
位取りをそのまま読み替えると$$M=100⟹N={100}_{(7)}=49,N=100={202}_{(7)}⟹M=202.$$(2)
$N=ab{c}_{(7)}$ とおけば$$M-2N=(100a+10b+c)-2(49a+7b+c)=2a-4b-c,$$よって $c=2a-4b$。$N<100$ から $a\leqq 2$ である。
$a=1$ では $(b,c)=(0,2)$、$a=2$ では
$(b,c)=(0,4),(1,0)$ だが後者2組は $N\geqq 100$。したがって$$N={102}_{(7)}=51.$$(3)
同じ関係を使うと$$N=49a+7b+c=51a+3b\mathrm{.}$$最大の $a=6$ に対し $0\leqq 12-4b\leqq 6$ だから $b=2,3$。
大きい方の $b=3$ では $c=0$ なので$$\max N={630}_{(7)}=315.$$(4)
$N=abc{d}_{(7)}$ とすれば$$M-2N=314a+2b-4c-d\geqq 314-24-6=284>0.$$ゆえに常に $2N<M$ である。