広島大学 2022年度 前期文系数学 第4問

(1)
直線$L_a$の方程式は$$y=4a(x-a)=4ax-4a^2$$である。点$(x,y)$がある$L_a$上にあるためには，ある実数$a$について$$y=x^2-4{(a-\frac{x}{2})}^2$$と表せればよい。したがって$$y\leqq x^2$$である。よって領域$S$は放物線$y=x^2$上およびその下側である。

(2)
点$A$を$(x,y)$とおくと，$$2\{x^2+(y-1{)}^2\}\leqq x^2+(y-2{)}^2$$である。整理すると$$x^2+y^2\leqq 2$$となる。よって領域$T$は原点中心，半径$\sqrt{2}$の円の内部および周である。

(3)
放物線$y=x^2$と円$x^2+y^2=2$の交点は$$x^2+x^4=2$$より$$(x,y)=(1,1),(-1,1)$$である。求める面積は，円の面積から，$-1\leqq x\leqq 1$で放物線より上にある部分の面積を引いたものである。したがって$$2\pi -{\int }_{-1}^1(\sqrt{2-x^2}-x^2)dx$$である。ここで$${\int }_{-1}^1\sqrt{2-x^2}dx=2(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{4})=1+\frac{\pi }{2}$$であり，$${\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=\frac{2}{3}$$である。よって求める面積は$$2\pi -(1+\frac{\pi }{2}-\frac{2}{3})=\frac{3\pi }{2}-\frac{1}{3}$$である。

点 $(x,y)$ を通る直線 $L_a$ が存在する条件を、$a$ の2次方程式の
実数解条件へ言い換える。領域 $T$ は距離の条件を展開し、共通部分の
面積は円全体から「円内かつ放物線より上」の部分を除いて求める。

(1)
点 $(x,y)$ を通る $L_a$ が存在する条件は、$a$ の方程式$$4a^2-4xa+y=0$$が実数解をもつことである。判別式より$$16(x^2-y)\geqq 0⟺S=\{(x,y)\mid y\leqq x^2\}\mathrm{.}$$(2)
$A=(x,y)$ とおくと$$2\{x^2+(y-1{)}^2\}\leqq x^2+(y-2{)}^2⟺T=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqq 2\}\mathrm{.}$$(3)
円と放物線の交点は$$x^2+x^4=2⟹(x,y)=(1,1),(-1,1)\mathrm{.}$$求める領域は図のように円板から
$-1\leqq x\leqq 1$ にある放物線上側の部分を除いたものである。

半径 $\sqrt{2}$、中心角 $\pi \mathrm{/}2$ の扇形を使えば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \text{面積}}& {\displaystyle =2\pi -{\int }_{-1}^1(\sqrt{2-x^2}-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi -(1+\frac{\pi }{2}-\frac{2}{3})=\frac{3\pi }{2}-\frac{1}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$