広島大学 2022年度文系数学第4問解答・解説

問題

実数 $a$ に対して，座標平面上の点 $(a, 0)$ を通る傾き $4 a$ の直線を $L_{a}$ とする． $a$ が実数全体を動くとき，直線 $L_{a}$ が通り得る点全体からなる領域を $S$ とする．また， $2$ 点 $P$ $(0, 1)$ と $Q$ $(0, 2)$ に対し， $2 A P ≦ A Q$ を満たす点 $A$ 全体からなる領域を $T$ とする．このとき，次の問いに答えよ．(1)　領域 $S$ を図示せよ．(2)　領域 $T$ を図示せよ．(3)　 $S$ と $T$ の共通部分の面積を求めよ．

出典：広島大学 2022年度前期文系第4問

方針

解法1（平方完成で通過領域を求める方法）

点 $(x, y)$ がある $L_{a}$ 上にある条件を $a$ について平方完成し，領域 $S$ を求める。領域 $T$ は距離の不等式を座標で展開する。共通部分は円から放物線より上の部分を引いて面積を出す。

解法2（判別式で直線族の通過領域を求める方法）

点 $(x, y)$ を通る直線 $L_{a}$ が存在する条件を、 $a$ の2次方程式の実数解条件へ言い換える。領域 $T$ は距離の条件を展開し、共通部分の面積は円全体から「円内かつ放物線より上」の部分を除いて求める。

解答

解法1（平方完成で通過領域を求める方法）

(1)

直線 $L_{a}$ の方程式は

y = 4 a (x - a) = 4 a x - 4 a^{2}

である。点 $(x, y)$ がある $L_{a}$ 上にあるためには，ある実数 $a$ について

y = x^{2} - 4 (a - \frac{x}{2})^{2}

と表せればよい。したがって

y ≦ x^{2}

である。よって領域 $S$ は放物線 $y = x^{2}$ 上およびその下側である。

(2)

点 $A$ を $(x, y)$ とおくと，

2 {x^{2} + (y - 1)^{2}} ≦ x^{2} + (y - 2)^{2}

である。整理すると

x^{2} + y^{2} ≦ 2

となる。よって領域 $T$ は原点中心，半径 $2$ の円の内部および周である。

(3)

放物線 $y = x^{2}$ と円 $x^{2} + y^{2} = 2$ の交点は

x^{2} + x^{4} = 2

より

(x, y) = (1, 1), (- 1, 1)

である。求める面積は，円の面積から， $- 1 ≦ x ≦ 1$ で放物線より上にある部分の面積を引いたものである。したがって

2 π - \int_{- 1}^{1} (2 - x^{2} - x^{2}) d x

である。ここで

\int_{- 1}^{1} 2 - x^{2} d x = 2 (\frac{1}{2} + \frac{π}{4}) = 1 + \frac{π}{2}

であり，

\int_{- 1}^{1} x^{2} d x = \frac{2}{3}

である。よって求める面積は

2 π - (1 + \frac{π}{2} - \frac{2}{3}) = \frac{3 π}{2} - \frac{1}{3}

である。

解法2（判別式で直線族の通過領域を求める方法）

(1)

点 $(x, y)$ を通る $L_{a}$ が存在する条件は、 $a$ の方程式

4 a^{2} - 4 x a + y = 0

が実数解をもつことである。判別式より

16 (x^{2} - y) ≧ 0 ⟺ S = {(x, y) ∣ y ≦ x^{2}} .

(2)

$A = (x, y)$ とおくと

2 {x^{2} + (y - 1)^{2}} ≦ x^{2} + (y - 2)^{2} ⟺ T = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ≦ 2} .

(3)

円と放物線の交点は

x^{2} + x^{4} = 2 ⟹ (x, y) = (1, 1), (- 1, 1) .

求める領域は図のように円板から $- 1 ≦ x ≦ 1$ にある放物線上側の部分を除いたものである。

半径 $2$ 、中心角 $π /2$ の扇形を使えば

面積 = 2 π - \int_{- 1}^{1} (2 - x^{2} - x^{2}) d x = 2 π - (1 + \frac{π}{2} - \frac{2}{3}) = \frac{3 π}{2} - \frac{1}{3} .

広島大学 2022年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1（平方完成で通過領域を求める方法）

解法2（判別式で直線族の通過領域を求める方法）

解答

解法1（平方完成で通過領域を求める方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（判別式で直線族の通過領域を求める方法）

(1)

(2)

(3)

広島大学 2022年度
文系数学第4問