広島大学 2023年度文理共通数学第1問解答・解説

問題

箱の中に $1$ から $N$ までの番号が一つずつ書かれた $N$ 枚のカードが入っている．ただし， $N$ は $4$ 以上の自然数である．「この箱からカードを $1$ 枚取り出し，書かれた番号を見てもとに戻す」という試行を考える．この試行を $4$ 回繰り返し，カードに書かれた番号を順に $X,$ $Y,$ $Z,$ $W$ とする．次の問いに答えよ．(1)　 $X = Y = Z = W$ となる確率を求めよ．(2)　 $X,$ $Y,$ $Z,$ $W$ が四つの異なる番号からなる確率を求めよ．(3)　 $X,$ $Y,$ $Z,$ $W$ のうち三つが同じ番号で残り一つが他と異なる番号である確率を求めよ．(4)　 $X,$ $Y,$ $Z,$ $W$ が三つの異なる番号からなる確率を求めよ．

出典：広島大学 2023年度前期文理共通第1問

方針

解法1

全事象を順序つきの4回の結果として数え，総数を $N^{4}$ とする。同じ番号の個数の分布ごとに，番号の選び方と位置の選び方を分けて数える。

解法2（使われた番号の集合と並べ方を先に数える方法）

4回の結果を長さ4の列とみなす。先に「使われた番号の集合」を選び、次に各番号が少なくとも1回現れる並べ方を数える。重複の型を明示すれば、数え漏れと二重計数を同時に防げる。

解答

解法1

(1)

全事象は $N^{4}$ 通りである。4回とも同じ番号である場合は，その番号の選び方が $N$ 通りであるから，求める確率は

\frac{N}{N ^{4}} = \frac{1}{N ^{3}}

である。

(2)

4回で互いに異なる番号が出る場合は，順に番号を選ぶと

N (N - 1) (N - 2) (N - 3)

通りである。したがって求める確率は

\frac{N ( N - 1 ) ( N - 2 ) ( N - 3 )}{N ^{4}} = \frac{( N - 1 ) ( N - 2 ) ( N - 3 )}{N ^{3}}

である。

(3)

3回出る番号を選ぶ方法が $N$ 通り，残り1回に出る番号を選ぶ方法が $N - 1$ 通り，その残り1回の位置が4通りである。よって求める確率は

\frac{4 N ( N - 1 )}{N ^{4}} = \frac{4 ( N - 1 )}{N ^{3}}

である。

(4)

4回のうち，ちょうど1組だけ同じ番号になる。2回出る番号の選び方が $N$ 通り，その位置の選び方が $_{4} C_{2} = 6$ 通り，残り2か所に入る異なる番号の選び方が順序も含めて $(N - 1) (N - 2)$ 通りである。したがって求める確率は

\frac{6 N ( N - 1 ) ( N - 2 )}{N ^{4}} = \frac{6 ( N - 1 ) ( N - 2 )}{N ^{3}}

である。

解法2（使われた番号の集合と並べ方を先に数える方法）

どの結果も同様に確からしく、結果の総数は

N^{4}

である。

(1)

使われる番号を1個選べば、列はその番号だけで決まる。したがって該当する列は $N$ 個で、

Pr (X = Y = Z = W) = \frac{N}{N ^{4}} = \frac{1}{N ^{3}} .

(2)

使う4番号の集合を選ぶ方法が $_{N} C_{4}$ 通り、その4番号を4か所に並べる方法が $4!$ 通りである。よって

Pr (4 個とも異なる) = \frac{_{N} C _{4} 4 !}{N ^{4}} = \frac{( N - 1 ) ( N - 2 ) ( N - 3 )}{N ^{3}} .

(3)

使う2番号の集合を選び、そのうち3回現れる番号を指定し、その位置を選ぶ。該当する列は

_{N} C_{2} \cdot 2 \cdot_{4} C_{3} = 4 N (N - 1)

個である。したがって

Pr (3 個が同じで残り 1 個が異なる) = \frac{4 N ( N - 1 )}{N ^{4}} = \frac{4 ( N - 1 )}{N ^{3}} .

(4)

使われる3番号の出現回数は $2, 1, 1$ である。まず3番号の集合を選び、2回現れる番号を選び、その番号の2位置を選び、残り2番号を並べる。したがって該当する列は

_{N} C_{3} \cdot 3 \cdot_{4} C_{2} \cdot 2! = 36_{N} C_{3} = 6 N (N - 1) (N - 2)

個である。よって

Pr (異なる番号がちょうど 3 個) = \frac{6 ( N - 1 ) ( N - 2 )}{N ^{3}} .

広島大学 2023年度文理共通数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2（使われた番号の集合と並べ方を先に数える方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（使われた番号の集合と並べ方を先に数える方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2023年度
文理共通数学第1問