広島大学 2023年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

空間内の $6$ 点 $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $F$ は $1$ 辺の長さが $1$ の正八面体の頂点であり，四角形 $A B C D$ は正方形であるとする． $b = A B,$ $d = A D,$ $e = A E$ とおくとき，次の問いに答えよ．(1)　内積 $b \cdot d,$ $b \cdot e,$ $d \cdot e$ の値を求めよ．(2)　 $A F = p b + q d + r e$ を満たす実数 $p,$ $q,$ $r$ の値を求めよ．(3)　辺 $B E$ を $1 : 2$ に内分する点を $G$ とする．また， $0 < t < 1$ を満たす実数 $t$ に対し，辺 $C F$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $H$ とする． $t$ が $0 < t < 1$ の範囲を動くとき， $△ A G H$ の面積が最小となる $t$ の値とそのときの $△ A G H$ の面積を求めよ．《編注》数学I・数学II・数学A・数学Bには(3)に次の加筆がある．「必要ならば， $△ A G H$ の面積 $S$ について $S = \frac{1}{2} A G^{2} A H^{2} - (A G \cdot A H)^{2}$ が成り立つことを用いてよい．」

出典：広島大学 2023年度前期文理共通第3問

方針

解法1

正八面体の隣り合う辺の長さがすべて1であることから内積を求める。 $F$ は $E$ の反対側の頂点なので $A F = b + d - e$ と表せる。面積は与えられた公式に $A G$ と $A H$ を代入し，二次式を最小化する。

解法2（正八面体を座標化して外積で面積を求める方法）

正方形 $A B C D$ を $x y$ 平面に置き、残る2頂点を正方形の中心の真上・真下に置く。各点を座標で表した後、三角形の面積を外積の大きさで求めれば、内積表現とは独立に最小値を検算できる。

解答

解法1

(1)

四角形 $A B C D$ は正方形であるから

b \cdot d = 0

である。また， $A B = A E = B E = 1$ より

∣ e - b ∣^{2} = 1

である。したがって

1 + 1 - 2 b \cdot e = 1

より

b \cdot e = \frac{1}{2}

である。同様に

d \cdot e = \frac{1}{2}

である。

(2)

正八面体では， $E$ と $F$ は正方形 $A B C D$ の中心に関して反対側にある。よって

A F = b + d - e

である。したがって

p = 1, q = 1, r = - 1

である。

(3)

$B G : GE = 1 : 2$ であるから

A G = \frac{2 b + e}{3}

である。また， $C H : H F = t : (1 - t)$ より

A H = (1 - t) A C + t A F = b + d - t e

である。(1)の内積を用いると

∣ A G ∣^{2} = \frac{7}{9}, ∣ A H ∣^{2} = t^{2} - 2 t + 2,

A G \cdot A H = \frac{3 - 2 t}{3}

である。したがって面積を $S$ とすると

S^{2} = \frac{1}{4} {\frac{7}{9} (t^{2} - 2 t + 2) - \frac{( 3 - 2 t ) ^{2}}{9}} = \frac{3 t ^{2} - 2 t + 5}{36}

である。ここで

3 t^{2} - 2 t + 5 = 3 (t - \frac{1}{3})^{2} + \frac{14}{3}

であるから， $0 < t < 1$ において最小となるのは

t = \frac{1}{3}

のときである。このとき

S = \frac{1}{6} \frac{14}{3} = \frac{42}{18}

である。

解法2（正八面体を座標化して外積で面積を求める方法）

次のように座標をとる。

A = (0, 0, 0), B = (1, 0, 0), D = (0, 1, 0), C = (1, 1, 0) .

正方形の中心から頂点までの距離は $1/ 2$ である。正八面体の各辺が1となるため、 $E, F$ を

E = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), F = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

とおける。

(1)

b = (1, 0, 0), d = (0, 1, 0), e = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

であるから

b \cdot d = 0, b \cdot e = \frac{1}{2}, d \cdot e = \frac{1}{2} .

(2)

A F = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) = b + d - e

より

p = 1, q = 1, r = - 1 .

(3)

図のように、 $G$ は $B E$ を $1 : 2$ に、 $H$ は $C F$ を $t : (1 - t)$ に内分する。

内分点の公式から

A G = \frac{2 B + E}{3} = (\frac{5}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{3 2}),

A H = (1 - t) C + tF = (1 - \frac{t}{2}, 1 - \frac{t}{2}, - \frac{t}{2}) .

外積を計算すると

A G \times A H = (- \frac{1}{3 2}, \frac{1 + 2 t}{3 2}, \frac{2 - t}{3}) .

したがって

A G \times A H^{2} = \frac{1}{18} + \frac{( 1 + 2 t ) ^{2}}{18} + \frac{( 2 - t ) ^{2}}{9} = \frac{3 t ^{2} - 2 t + 5}{9} .

三角形の面積を $S$ とすれば

S^{2} = \frac{1}{4} A G \times A H^{2} = \frac{3 t ^{2} - 2 t + 5}{36} .

ここで

3 t^{2} - 2 t + 5 = 3 (t - \frac{1}{3})^{2} + \frac{14}{3} .

$0 < t < 1$ で $t = 1/3$ は許されるので

t = \frac{1}{3}, S_{m i n} = \frac{42}{18} .

広島大学 2023年度文理共通数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2（正八面体を座標化して外積で面積を求める方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（正八面体を座標化して外積で面積を求める方法）

(1)

(2)

(3)

広島大学 2023年度
文理共通数学第3問