広島大学 2023年度文系数学第2問解答・解説

問題

$a,$ $d$ を実数とし，数列 ${a_{n}}$ を初項 $a,$ 公差 $d$ の等差数列とする．数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする． $a_{3} = S_{2} = 18$ が成り立つとき，次の問いに答えよ．(1)　 $a,$ $d$ の値を求めよ．(2)　 $S_{n}$ を $n$ を用いて表せ．(3)　数列 ${S_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $T_{n}$ とし，数列 ${U_{n}}$ を $U_{n} = T_{n} - 4 S_{n} + 5 a_{n}$ （ $n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots$ ）により定める． $U_{n}$ が最小となるときの $n$ の値をすべて求め，さらにそのときの $U_{n}$ の値を求めよ．(4)　(3)で定めた数列 ${U_{n}}$ の初項から第 $7$ 項までの和を $V$ とする． $c$ を実数とし，関数 $f (x) = 3 x^{2} + c x + 36$ を考える．定積分 $\int_{0}^{c} f (x) d x$ が $V$ に等しいとき， $c$ の値を求めよ．

出典：広島大学 2023年度前期文系第2問

方針

解法1

等差数列の一般項と和から $a, d$ を決める。 $S_{n}$ をさらに和にして $T_{n}$ を求め， $U_{n}$ を因数分解して自然数範囲で最小値を調べる。最後は $V$ を計算し，定積分から得る三次方程式を解く。

解法2（3次式の有限差分で最小値を判定する方法）

$U_{n}$ を3次式まで整理したら、値を場合分けする代わりに差 $U_{n + 1} - U_{n}$ の符号を見る。和 $V$ は3次式の和の公式で一括計算し、最後の3次方程式は因数分解して実数解を確定する。

解答

解法1

(1)

a_{3} = a + 2 d, S_{2} = 2 a + d

であるから

a + 2 d = 18, 2 a + d = 18

である。これより $a = d$ であり，

a = d = 6

である。

(2)

(1)より $a_{n} = 6 n$ である。したがって

S_{n} = \frac{n ( 6 + 6 n )}{2} = 3 n (n + 1)

である。

(3)

T_{n} = k = 1 \sum n 3 k (k + 1) = n (n + 1) (n + 2)

である。よって

U_{n} = n (n + 1) (n + 2) - 12 n (n + 1) + 30 n = n (n - 4) (n - 5)

である。自然数 $n$ について， $n = 1, 2, 3$ では $U_{n} > 0$ ， $n = 4, 5$ では $U_{n} = 0$ ， $n ≧ 6$ では $U_{n} > 0$ である。したがって最小となるのは

n = 4, 5

であり，そのときの値は

U_{n} = 0

である。

(4)

U_{1}, U_{2}, \dots, U_{7} = 12, 12, 6, 0, 0, 12, 42

であるから

V = 84

である。一方，

\int_{0}^{c} (3 x^{2} + c x + 36) d x = c^{3} + \frac{c ^{3}}{2} + 36 c = \frac{3}{2} c^{3} + 36 c

である。よって

\frac{3}{2} c^{3} + 36 c = 84

すなわち

c^{3} + 24 c - 56 = 0

である。左辺は $c = 2$ で0となる。また，関数 $c^{3} + 24 c - 56$ は実数全体で単調に増加するので，解はただ一つである。したがって

c = 2

である。

解法2（3次式の有限差分で最小値を判定する方法）

(1)(2)

a_{3} = a + 2 d = 18, S_{2} = 2 a + d = 18

を解くと

a = d = 6 .

したがって $a_{n} = 6 n$ であり、

S_{n} = \frac{n}{2} (6 + 6 n) = 3 n (n + 1) .

(3)

T_{n} = k = 1 \sum n 3 k (k + 1) = 3 {\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + \frac{n ( n + 1 )}{2}} = n (n + 1) (n + 2) .

よって

U_{n} = T_{n} - 4 S_{n} + 5 a_{n} = n^{3} - 9 n^{2} + 20 n = n (n - 4) (n - 5) . (1)

隣接項の差をとると

U_{n + 1} - U_{n} = 3 n^{2} - 15 n + 12 = 3 (n - 1) (n - 4) .

したがって $U_{1} = U_{2}$ 、 $n = 2, 3$ では減少し、 $U_{4} = U_{5}$ 、 $n ≧ 5$ では増加する。ゆえに

n = 4, 5 のとき最小値 0 .

(4)

(1)と和の公式から

V = n = 1 \sum 7 (n^{3} - 9 n^{2} + 20 n) = {\frac{7 \cdot 8}{2}}^{2} - 9 \cdot \frac{7 \cdot 8 \cdot 15}{6} + 20 \cdot \frac{7 \cdot 8}{2} = 784 - 1260 + 560 = 84.

一方、

\int_{0}^{c} (3 x^{2} + c x + 36) d x = c^{3} + \frac{c ^{3}}{2} + 36 c = \frac{3}{2} c^{3} + 36 c .

これが84に等しいから

c^{3} + 24 c - 56 = 0.

左辺は

(c - 2) (c^{2} + 2 c + 28)

と因数分解できる。第2因子は判別式 $2^{2} - 4 \cdot 28 < 0$ より実数の範囲で常に正である。したがって

c = 2 .

広島大学 2023年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2（3次式の有限差分で最小値を判定する方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（3次式の有限差分で最小値を判定する方法）

(1)(2)

(3)

(4)

広島大学 2023年度
文系数学第2問