広島大学 2023年度 前期文系数学 第2問

(1) $$a_3=a+2d,S_2=2a+d$$であるから$$a+2d=18,2a+d=18$$である。これより$a=d$であり，$$a=d=6$$である。

(2)
(1)より$a_n=6n$である。したがって$$S_n=\frac{n(6+6n)}{2}=3n(n+1)$$である。

(3) $$T_n=\sum _{k=1}^{n}3k(k+1)=n(n+1)(n+2)$$である。よって$$U_n=n(n+1)(n+2)-12n(n+1)+30n=n(n-4)(n-5)$$である。自然数$n$について，$n=1,2,3$では$U_n>0$，$n=4,5$では$U_n=0$，$n\geqq 6$では$U_n>0$である。したがって最小となるのは$$n=4,5$$であり，そのときの値は$$U_n=0$$である。

(4) $$U_1,U_2,\dots ,U_7=12,12,6,0,0,12,42$$であるから$$V=84$$である。一方，$${\int }_0^c(3x^2+cx+36)dx=c^3+\frac{c^3}{2}+36c=\frac{3}{2}{c}^3+36c$$である。よって$$\frac{3}{2}{c}^3+36c=84$$すなわち$$c^3+24c-56=0$$である。左辺は$c=2$で0となる。また，関数$c^3+24c-56$は実数全体で単調に増加するので，解はただ一つである。したがって$$c=2$$である。

$U_n$ を3次式まで整理したら、値を場合分けする代わりに差 $U_{n+1}-U_n$ の符号を見る。和 $V$ は3次式の和の公式で一括計算し、最後の3次方程式は因数分解して実数解を確定する。

(1) (2)$$a_3=a+2d=18,S_2=2a+d=18$$を解くと$${\displaystyle a=d=6\mathrm{.}}$$したがって $a_n=6n$ であり、$${\displaystyle S_n=\frac{n}{2}(6+6n)=3n(n+1)\mathrm{.}}$$(3)$$T_n=\sum _{k=1}^{n}3k(k+1)=3\{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\}=n(n+1)(n+2)\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{cccc}& U_n=T_n-4S_n+5a_n=n^3-9n^2+20n=n(n-4)(n-5)\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$隣接項の差をとると$$U_{n+1}-U_n=3n^2-15n+12=3(n-1)(n-4)\mathrm{.}$$したがって $U_1=U_2$、$n=2,3$ では減少し、
$U_4=U_5$、$n\geqq 5$ では増加する。ゆえに$${\displaystyle n=4,5\text{ のとき最小値 }0\mathrm{.}}$$(4)
(1)と和の公式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\sum _{n=1}^7(n^3-9n^2+20n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left\{\frac{7\cdot 8}{2}\right\}}^2-9\cdot \frac{7\cdot 8\cdot 15}{6}+20\cdot \frac{7\cdot 8}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =784-1260+560=84.}\end{array}$$一方、$${\int }_0^c(3x^2+cx+36)dx=c^3+\frac{c^3}{2}+36c=\frac{3}{2}{c}^3+36c\mathrm{.}$$これが84に等しいから$$c^3+24c-56=0.$$左辺は$$(c-2)(c^2+2c+28)$$と因数分解できる。第2因子は判別式
$2^2-4\cdot 28<0$ より実数の範囲で常に正である。したがって$${\displaystyle c=2\mathrm{.}}$$