広島大学 2023年度文系数学第4問解答・解説

問題

$a < 0,$ $b > 0,$ $c > 0$ とし，座標平面上の二つの放物線 $C_{1} : y = a x (x - 2),$ $C_{2} : y = b (x + c)^{2}$ を考える．放物線 $C_{1}$ 上の点 $(2, 0)$ における接線の傾きは $- 2$ である．放物線 $C_{1}$ と放物線 $C_{2}$ の共有点が $1$ 点のみであるとし，その共有点の $x$ 座標を $d$ とする．次の問いに答えよ．(1)　 $a$ の値を求めよ．(2)　 $b,$ $d$ を $c$ を用いて表せ．(3)　放物線 $C_{1}$ と $x$ 軸で囲まれた部分を $A$ とし，不等式 $0 ≦ x ≦ d$ の表す領域を $B$ とする． $A$ と $B$ の共通部分の面積 $S$ を $c$ を用いて表せ．(4)　放物線 $C_{2},$ $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $T$ を $c$ を用いて表せ．(5)　(3)の $S$ と(4)の $T$ が $8 S = 15 T$ を満たすとき， $c$ の値を求めよ．

出典：広島大学 2023年度前期文系第4問

方針

解法1

接線の傾きから $a$ を決める。共有点が1点のみという条件は，二つの放物線の交点方程式の判別式が0であることに直す。面積は $d = \frac{c}{c + 1}$ を使って定積分で表し，最後に方程式を解く。

解法2（接点での関数値と導関数を連立する方法）

共有点が1点だけという条件を判別式へ直さず、接点 $x = d$ で2曲線の値と傾きが等しいことを使う。先に $d, b$ を短く求め、その後の面積は積分で処理する。

解答

解法1

(1)

C_{1} : y = a x (x - 2)

より

y^{'} = a (2 x - 2)

である。 $x = 2$ での接線の傾きが $- 2$ であるから

2 a = - 2

となり，

a = - 1

である。

(2)

(1)より $C_{1} : y = - x^{2} + 2 x$ である。共有点の $x$ 座標は

- x^{2} + 2 x = b (x + c)^{2}

を満たす。すなわち

(1 + b) x^{2} + (2 b c - 2) x + b c^{2} = 0

である。共有点が1点のみであるから判別式は0であり，

(b c - 1)^{2} - b c^{2} (1 + b) = 0

となる。整理して

b = \frac{1}{c ( c + 2 )}

である。このとき重解は

d = \frac{1 - b c}{1 + b} = \frac{c}{c + 1}

である。

(3)

$c > 0$ より $0 < d < 1$ であるから，求める面積は

S = \int_{0}^{d} (- x^{2} + 2 x) d x = d^{2} - \frac{d ^{3}}{3}

である。 $d = \frac{c}{c + 1}$ を代入して

S = \frac{c ^{2} ( 2 c + 3 )}{3 ( c + 1 ) ^{3}}

である。

(4)

$C_{2}$ は $x = - c$ で $x$ 軸に接する。よって求める面積は

T = \int_{- c}^{0} b (x + c)^{2} d x = \frac{b c ^{3}}{3}

である。(2)の $b$ を代入して

T = \frac{c ^{2}}{3 ( c + 2 )}

である。

(5)

8 S = 15 T

に(3)，(4)を代入し， $c > 0$ を用いて整理すると

\frac{8 ( 2 c + 3 )}{( c + 1 ) ^{3}} = \frac{15}{c + 2}

である。したがって

15 c^{3} + 29 c^{2} - 11 c - 33 = 0

となる。左辺は

(c - 1) (15 c^{2} + 44 c + 33)

と因数分解できる。 $15 c^{2} + 44 c + 33 > 0$ であるから， $c > 0$ を満たす解は

c = 1

である。

解法2（接点での関数値と導関数を連立する方法）

(1)

$C_{1}$ の導関数は $a (2 x - 2)$ である。 $x = 2$ での傾きが $- 2$ だから

2 a = - 2, a = - 1 .

以後 $C_{1} : y = - x^{2} + 2 x$ とする。

(2)

2曲線は $x = d$ で接するので、関数値と傾きを等しくして

- d^{2} + 2 d = b (d + c)^{2}, (1)

2 - 2 d = 2 b (d + c) . (2)

(2)から

b (d + c) = 1 - d . (3)

(1)へ代入すると

d (2 - d) = (1 - d) (d + c) .

整理して

d (c + 1) = c

だから

d = \frac{c}{c + 1} .

さらに(3)から

b = \frac{1 - d}{d + c} = \frac{1}{c ( c + 2 )} .

$c > 0$ より $b > 0, 0 < d < 1$ も確認できる。

(3)

$0 < d < 1$ なので、領域 $A \cap B$ の面積は

S = \int_{0}^{d} (- x^{2} + 2 x) d x = d^{2} - \frac{d ^{3}}{3} .

$d = c / (c + 1)$ を代入して

S = \frac{c ^{2} ( 2 c + 3 )}{3 ( c + 1 ) ^{3}} .

(4)

$C_{2}$ は $x = - c$ で $x$ 軸に接する。したがって

T = \int_{- c}^{0} b (x + c)^{2} d x = \frac{b c ^{3}}{3} = \frac{c ^{2}}{3 ( c + 2 )} .

(5)

$8 S = 15 T$ へ上の式を代入する。 $c > 0$ なので

\frac{8 ( 2 c + 3 )}{( c + 1 ) ^{3}} = \frac{15}{c + 2} .

整理すると

15 c^{3} + 29 c^{2} - 11 c - 33 = 0

であり、

(c - 1) (15 c^{2} + 44 c + 33) = 0.

2次因子は $c > 0$ で正であるから

c = 1 .

広島大学 2023年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2（接点での関数値と導関数を連立する方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

解法2（接点での関数値と導関数を連立する方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

広島大学 2023年度
文系数学第4問