広島大学 2023年度 前期文系数学 第4問

(1) $$C_1:y=ax(x-2)$$より$$y^{\mathrm{\prime }}=a(2x-2)$$である。$x=2$での接線の傾きが$-2$であるから$$2a=-2$$となり，$$a=-1$$である。

(2)
(1)より$C_1:y=-x^2+2x$である。共有点の$x$座標は$$-x^2+2x=b(x+c{)}^2$$を満たす。すなわち$$(1+b)x^2+(2bc-2)x+b{c}^2=0$$である。共有点が1点のみであるから判別式は0であり，$$(bc-1{)}^2-b{c}^2(1+b)=0$$となる。整理して$$b=\frac{1}{c(c+2)}$$である。このとき重解は$$d=\frac{1-bc}{1+b}=\frac{c}{c+1}$$である。

(3)
$c>0$より$0<d<1$であるから，求める面積は$$S={\int }_0^d(-x^2+2x)dx=d^2-\frac{d^3}{3}$$である。$$d=\frac{c}{c+1}$$を代入して$$S=\frac{c^2(2c+3)}{3(c+1{)}^3}$$である。

(4)
$C_2$は$x=-c$で$x$軸に接する。よって求める面積は$$T={\int }_{-c}^{0}b(x+c{)}^{2}dx=\frac{b{c}^3}{3}$$である。(2)の$b$を代入して$$T=\frac{c^2}{3(c+2)}$$である。

(5) $$8S=15T$$に(3)，(4)を代入し，$c>0$を用いて整理すると$$\frac{8(2c+3)}{(c+1{)}^3}=\frac{15}{c+2}$$である。したがって$$15c^3+29c^2-11c-33=0$$となる。左辺は$$(c-1)(15c^2+44c+33)$$と因数分解できる。$15c^2+44c+33>0$であるから，$c>0$を満たす解は$$c=1$$である。

共有点が1点だけという条件を判別式へ直さず、接点 $x=d$ で2曲線の値と傾きが等しいことを使う。先に $d,b$ を短く求め、その後の面積は積分で処理する。

(1)
$C_1$ の導関数は $a(2x-2)$ である。$x=2$ での傾きが $-2$ だから$$2a=-2,{\displaystyle a=-1\mathrm{.}}$$以後 $C_1:y=-x^2+2x$ とする。

(2)
2曲線は $x=d$ で接するので、関数値と傾きを等しくして$$\begin{array}{cccc}& -d^2+2d=b(d+c{)}^2,& & \text{(1)}\end{array}$$$$\begin{array}{cccc}& 2-2d=2b(d+c)\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$(2)から$$\begin{array}{cccc}& b(d+c)=1-d\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$(1)へ代入すると$$d(2-d)=(1-d)(d+c)\mathrm{.}$$整理して$$d(c+1)=c$$だから$${\displaystyle d=\frac{c}{c+1}\mathrm{.}}$$さらに(3)から$$b=\frac{1-d}{d+c}={\displaystyle \frac{1}{c(c+2)}\mathrm{.}}$$$c>0$ より $b>0,0<d<1$ も確認できる。

(3)
$0<d<1$ なので、領域 $A\cap B$ の面積は$$S={\int }_0^d(-x^2+2x)dx=d^2-\frac{d^3}{3}\mathrm{.}$$$d=c\mathrm{/}(c+1)$ を代入して$${\displaystyle S=\frac{c^2(2c+3)}{3(c+1{)}^3}\mathrm{.}}$$(4)
$C_2$ は $x=-c$ で $x$ 軸に接する。したがって$$T={\int }_{-c}^{0}b(x+c{)}^{2}dx=\frac{b{c}^3}{3}={\displaystyle \frac{c^2}{3(c+2)}\mathrm{.}}$$(5)
$8S=15T$ へ上の式を代入する。$c>0$ なので$$\frac{8(2c+3)}{(c+1{)}^3}=\frac{15}{c+2}\mathrm{.}$$整理すると$$15c^3+29c^2-11c-33=0$$であり、$$(c-1)(15c^2+44c+33)=0.$$2次因子は $c>0$ で正であるから$${\displaystyle c=1\mathrm{.}}$$