広島大学 2024年度文理共通数学第1問解答・解説

問題

$A, B, C, D, E$ の $5$ 人が、それぞれゲーム $α$ とゲーム $β$ の $2$ 種類のゲームを行った。ゲーム $α$ の得点を $x$ 、ゲーム $β$ の得点を $y$ で表す。次の表はそれぞれのゲームにおける得点である。ただし、 $a, b$ は整数である。なお、得点が負になることもあり得る。

得点 x 得点 y A 70 B 6 - 4 C 8 - 1 D a 2 E 4 b

ゲーム $α$ の得点の平均値は $7$ であるとし、ゲーム $β$ の得点 $y$ の平均値を $m$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) $p, q$ は実数で、 $p \neq = 0$ とする。ゲーム $β$ の得点 $y$ を $z = p y + q$ により変換し、新たな変量 $z$ を作成する。 $z$ の分散を $s_{z}^{2}$ 、二つの変量 $x, z$ の共分散を $s_{x z}$ とする。このとき、 $s_{z}^{2}$ と $s_{x z}$ を $p, q, m$ のうちの必要なものを用いて表せ。ただし、変量 $x$ と $z$ との共分散は $x$ の偏差と $z$ の偏差の積の平均値である。

(3) 変量 $x$ と(2)で作った変量の相関係数が $\frac{3}{4}$ であるとき、 $m$ と $b$ の値を求めよ。また、 $p$ が正であるか負であるかを答えよ。

出典：広島大学 2024年度前期文理共通第1問

方針

解法1（標準解法）

平均から欠けた得点を確定し、偏差を表にして分散・共分散を計算する。一次変換では、定数項は偏差から消え、分散は係数の2乗倍、共分散は係数倍になることを用いる。最後は相関係数の絶対値から平均を、符号から係数の符号を決める。

解法2（偏差ベクトルで一括計算）

5人分の偏差をベクトルとみなし、分散を長さの2乗、共分散を内積として処理する。一次変換後の偏差ベクトルが単に $p$ 倍になることから、 $q$ が消える理由と $p$ の符号の役割を同時に明らかにする。

解答

解法1（標準解法）

(1)

$x$ の平均値が $7$ であるから

\frac{7 + 6 + 8 + a + 4}{5} = 7

である。よって

a = 10

である。

(2)

$y$ の平均値が $m$ であるから

\frac{0 - 4 - 1 + 2 + b}{5} = m

より

b = 5 m + 3

である。 $y$ の分散は

s_{y}^{2} = \frac{0 ^{2} + ( - 4 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 2 ^{2} + b ^{2}}{5} - m^{2} = 4 m^{2} + 6 m + 6

である。 $z = p y + q$ であるから

s_{z}^{2} = p^{2} s_{y}^{2} = p^{2} (4 m^{2} + 6 m + 6)

である。

また、 $x$ の偏差は $0, - 1, 1, 3, - 3$ である。したがって

s_{x y} = \frac{0 \cdot 0 + ( - 1 ) ( - 4 ) + 1 ( - 1 ) + 3 \cdot 2 + ( - 3 ) b}{5} = - 3 m

である。 $z$ の偏差は $p$ 倍されるので

s_{x z} = p s_{x y} = - 3 p m

である。

(3)

$x$ の分散は

s_{x}^{2} = \frac{0 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 1 ^{2} + 3 ^{2} + ( - 3 ) ^{2}}{5} = 4

である。相関係数が $\frac{3}{4}$ であるから

\frac{- 3 p m}{2∣ p ∣ 4 m ^{2} + 6 m + 6} = \frac{3}{4}

である。大きさを比べると

\frac{3∣ m ∣}{2 4 m ^{2} + 6 m + 6} = \frac{3}{4}

であり、これより

2∣ m ∣ = 4 m^{2} + 6 m + 6

となる。両辺を平方して

4 m^{2} = 4 m^{2} + 6 m + 6

であるから

m = - 1

である。よって

b = 5 m + 3 = - 2

である。このとき相関係数は $\frac{3}{4}$ に $p$ の符号を掛けたものになるので、 $p$ は正である。

解法2（偏差ベクトルで一括計算）

(1)

$x$ の合計は $5 \cdot 7 = 35$ なので

7 + 6 + 8 + a + 4 = 35

より

a = 10.

(2)

$y$ の合計は $5 m$ であるから

b - 3 = 5 m, b = 5 m + 3.

$x$ の偏差ベクトルと $y$ の偏差ベクトルをそれぞれ

X = (0, - 1, 1, 3, - 3),

Y = (- m, - 4 - m, - 1 - m, 2 - m, b - m)

とする。 $z = p y + q$ の平均は $p m + q$ なので、 $z$ の偏差ベクトルは

Z = p Y

である。したがって $q$ は分散・共分散に影響せず、

s_{z}^{2} = \frac{1}{5} Z \cdot Z = p^{2} \frac{1}{5} Y \cdot Y, s_{x z} = \frac{1}{5} X \cdot Z = p \frac{1}{5} X \cdot Y

となる。

ここで、分散は「2乗の平均−平均の2乗」から

s_{y}^{2} = \frac{0 ^{2} + ( - 4 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 2 ^{2} + b ^{2}}{5} - m^{2} = \frac{21 + ( 5 m + 3 ) ^{2}}{5} - m^{2} = 4 m^{2} + 6 m + 6.

また、 $X$ の成分の和は $0$ なので、 $y$ から平均 $m$ を引く部分は内積で消える。よって

s_{x y} = \frac{1}{5} {0 \cdot 0 + (- 1) (- 4) + 1 (- 1) + 3 \cdot 2 + (- 3) b} = \frac{9 - 3 ( 5 m + 3 )}{5} = - 3 m .

以上から

s_{z}^{2} = p^{2} (4 m^{2} + 6 m + 6), s_{x z} = - 3 p m

を得る。

(3)

s_{x}^{2} = \frac{1}{5} X \cdot X = \frac{20}{5} = 4

である。相関係数の絶対値が $3/4$ なので

\frac{3∣ m ∣}{2 4 m ^{2} + 6 m + 6} = \frac{3}{4} .

両辺は非負であるから平方してよく、

4 m^{2} = 4 m^{2} + 6 m + 6

より

m = - 1, b = 5 m + 3 = - 2.

このとき

s_{y}^{2} = 4, s_{x y} = 3

なので、 $x$ と $z$ の相関係数は

\frac{3 p}{2 \cdot 2∣ p ∣} = \frac{3}{4} \frac{p}{∣ p ∣} .

これが $3/4$ であるための必要十分条件は $p > 0$ である。したがって

m = - 1, b = - 2, p > 0 .

広島大学 2024年度文理共通数学 第1問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（偏差ベクトルで一括計算）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

解法2（偏差ベクトルで一括計算）

(1)

(2)

(3)

広島大学 2024年度
文理共通数学第1問