広島大学 2024年度 前期理系数学 第1問

(1)
$x$の平均値が$7$であるから$$\frac{7+6+8+a+4}{5}=7$$である。よって$$a=10$$である。

(2)
$y$の平均値が$m$であるから$$\frac{0-4-1+2+b}{5}=m$$より$$b=5m+3$$である。$y$の分散は$$s_y^2=\frac{0^2+(-4{)}^2+(-1{)}^2+2^2+b^2}{5}-m^2=4m^2+6m+6$$である。$z=py+q$であるから$$s_z^2=p^2{s}_y^2=p^2(4m^2+6m+6)$$である。

また、$x$の偏差は $0,-1,1,3,-3$ である。したがって$$s_{xy}=\frac{0\cdot 0+(-1)(-4)+1(-1)+3\cdot 2+(-3)b}{5}=-3m$$である。$z$の偏差は$p$倍されるので$$s_{xz}=p{s}_{xy}=-3pm$$である。

(3)
$x$の分散は$$s_x^2=\frac{0^2+(-1{)}^2+1^2+3^2+(-3{)}^2}{5}=4$$である。相関係数が$\frac{3}{4}$であるから$$\frac{-3pm}{2\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }\sqrt{4m^2+6m+6}}=\frac{3}{4}$$である。大きさを比べると$$\frac{3\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }}{2\sqrt{4m^2+6m+6}}=\frac{3}{4}$$であり、これより$$2\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }=\sqrt{4m^2+6m+6}$$となる。両辺を平方して$$4m^2=4m^2+6m+6$$であるから$$m=-1$$である。よって$$b=5m+3=-2$$である。このとき相関係数は $\frac{3}{4}$ に $p$ の符号を掛けたものになるので、$p$は正である。

5人分の偏差をベクトルとみなし、分散を長さの2乗、共分散を内積として処理する。一次変換後の偏差ベクトルが単に$p$倍になることから、$q$が消える理由と$p$の符号の役割を同時に明らかにする。

(1)
$x$の合計は$5\cdot 7=35$なので$$7+6+8+a+4=35$$より$$a=10.$$(2)
$y$の合計は$5m$であるから$$b-3=5m,b=5m+3.$$$x$の偏差ベクトルと$y$の偏差ベクトルをそれぞれ$$\mathit{X}=(0,-1,1,3,-3),$$$$\mathit{Y}=(-m,-4-m,-1-m,2-m,b-m)$$とする。$z=py+q$の平均は$pm+q$なので、$z$の偏差ベクトルは$$\mathit{Z}=p\mathit{Y}$$である。したがって$q$は分散・共分散に影響せず、$$s_z^2=\frac{1}{5}\mathit{Z}\cdot \mathit{Z}=p^2\frac{1}{5}\mathit{Y}\cdot \mathit{Y},s_{xz}=\frac{1}{5}\mathit{X}\cdot \mathit{Z}=p\frac{1}{5}\mathit{X}\cdot \mathit{Y}$$となる。

ここで、分散は「2乗の平均−平均の2乗」から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s_y^2}& {\displaystyle =\frac{0^2+(-4{)}^2+(-1{)}^2+2^2+b^2}{5}-m^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{21+(5m+3{)}^2}{5}-m^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4m^2+6m+6.}\end{array}$$また、$\mathit{X}$の成分の和は$0$なので、$y$から平均$m$を引く部分は内積で消える。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s_{xy}}& {\displaystyle =\frac{1}{5}\{0\cdot 0+(-1)(-4)+1(-1)+3\cdot 2+(-3)b\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{9-3(5m+3)}{5}=-3m\mathrm{.}}\end{array}$$以上から$$s_z^2=p^2(4m^2+6m+6),s_{xz}=-3pm$$を得る。

(3) $$s_x^2=\frac{1}{5}\mathit{X}\cdot \mathit{X}=\frac{20}{5}=4$$である。相関係数の絶対値が$3\mathrm{/}4$なので$$\frac{3\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }}{2\sqrt{4m^2+6m+6}}=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$両辺は非負であるから平方してよく、$$4m^2=4m^2+6m+6$$より$$m=-1,b=5m+3=-2.$$このとき$$s_y^2=4,s_{xy}=3$$なので、$x$と$z$の相関係数は$$\frac{3p}{2\cdot 2\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }}=\frac{3}{4}\frac{p}{\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }}\mathrm{.}$$これが$3\mathrm{/}4$であるための必要十分条件は$p>0$である。したがって$$m=-1,b=-2,p>0\mathrm{.}$$