広島大学 2024年度 前期理系数学 第2問（理系）

(1) $$\vec{a}=(1,1,0),\vec{b}=(0,1,1),\vec{c}=(1,2,-1)$$である。したがって$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1,\vec{a}\cdot \vec{c}=3,\vec{b}\cdot \vec{c}=1$$である。

(2)
$M$は平面$\alpha$上にあるから$$\overrightarrow{OM}=s\vec{a}+t\vec{b}$$とおける。すなわち$$M=(s,s+t,t)$$である。$\overrightarrow{CM}$は平面$\alpha$に垂直であるから、$$\overrightarrow{CM}\cdot \vec{a}=0$$、$$\overrightarrow{CM}\cdot \vec{b}=0$$である。これより$$2s+t=3,s+2t=1$$を得る。したがって$$s=\frac{5}{3},t=-\frac{1}{3}$$であり、$$M=(\frac{5}{3},\frac{4}{3},-\frac{1}{3})$$である。

(3)
$D$は直線$CM$上にあるから$$D=M+\lambda (C-M)$$とおく。$$C-M=(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$$であるから、$$D-A=(\frac{2-2\lambda }{3},\frac{1+2\lambda }{3},\frac{-1-2\lambda }{3})$$である。$\mathrm{\mid }AC{\mathrm{\mid }}^2=2$であり、条件$\mathrm{\mid }AD{\mathrm{\mid }}^2=2$は$$\frac{(2-2\lambda {)}^2+(1+2\lambda {)}^2+(-1-2\lambda {)}^2}{9}=2$$である。これを整理すると ${\lambda }^2=1$ となる。$\lambda =1$は点$C$を表すので、$D\mathrm{\ne }C$より $\lambda =-1$ である。したがって$$D=2M-C=(\frac{7}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$$である。

(4)
直線$CM$は平面$\alpha$に垂直であり、点$A,M$は平面$\alpha$上にあるから、$AM$は直線$CD$への高さである。ここで$$CM=\frac{2}{\sqrt{3}},CD=2CM=\frac{4}{\sqrt{3}}$$であり、$$AM=\sqrt{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{(-\frac{1}{3})}^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$である。よって$$S=\frac{1}{2}\cdot CD\cdot AM=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$である。

平面$OAB$の法線ベクトルを直接求め、平面の方程式から$C$の正射影$M$を得る。$A$が平面上にあることを利用すると、$C$と平面対称な点が距離条件を満たすもう一つの点$D$である。最後は外積で面積を独立に検算する。

(1) $$\vec{a}=(1,1,0),\vec{b}=(0,1,1),\vec{c}=(1,2,-1)$$より$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1,\vec{a}\cdot \vec{c}=3,\vec{b}\cdot \vec{c}=1\mathrm{.}$$(2)
平面$\alpha$の法線ベクトルとして$$\mathit{n}=(1,-1,1)$$をとれる。実際、$\mathit{n}\cdot \vec{a}=\mathit{n}\cdot \vec{b}=0$である。平面は原点を通るので、その方程式は$$x-y+z=0.$$$C=(1,2,-1)$における左辺の値は$-2$、また$\mathrm{\mid }\mathit{n}{\mathrm{\mid }}^2=3$である。したがって$C$から平面への正射影は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle M}& {\displaystyle =C-\frac{\mathit{n}\cdot C}{\mathrm{\mid }\mathit{n}{\mathrm{\mid }}^2}\mathit{n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1,2,-1)+\frac{2}{3}(1,-1,1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\frac{5}{3},\frac{4}{3},-\frac{1}{3})\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
$A$は平面$\alpha$上にあり、$CM\perp \alpha$である。そこで$C$を平面$\alpha$に関して対称移動した点$$D=2M-C=(\frac{7}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$$を考える。平面対称は平面上の点$A$からの距離を保つので$$\mathrm{\mid }AD\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }AC\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$また$C,M,D$は一直線上にあり、$D\mathrm{\ne }C$であるから、これは条件を満たす求める点である。よって$$D=(\frac{7}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})\mathrm{.}$$(4)
外積で独立に面積を求める。$$\overrightarrow{AC}=(0,1,-1),\overrightarrow{AD}=(\frac{4}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{3})\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}=(0,-\frac{4}{3},-\frac{4}{3})$$であり、その大きさは$4\sqrt{2}\mathrm{/}3$である。よって$$S=\frac{1}{2}\mid \overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}\mid =\frac{2\sqrt{2}}{3}\mathrm{.}$$