問題
大小個のさいころを投げ，出た目の最大値を得点とするゲームを「ゲームX」と呼ぶ。次の問いに答えよ。
(1) AさんがゲームXを行う。Aさんの得点がである確率を求め，既約分数で表せ。
(2) AさんがゲームXを行う。Aさんの得点がであるとき，大きいさいころの出た目がである条件付き確率を求め，既約分数で表せ。
(3) AさんがゲームXを行う。Aさんの得点の期待値を求め，既約分数で表せ。
(4) AさんとBさんがそれぞれゲームXを行う。Aさんの得点がBさんの得点より大きい確率を求め，既約分数で表せ。
方針
解法1
得点が最大値で定まるので，得点の確率を「両方が以下」から「両方が以下」を引いて求める。(4)は同分布の対称性から，引き分け確率を先に出す。
解法2
得点 の分布を作る。(3)は を使い，(4)はAの得点を固定してBの得点がそれ未満となる場合を直接数える。
解答
解法1
(1)
得点がであるのは，両方の目が以下で，かつ両方の目が以下ではない場合である。したがって場合の数は
であり，求める確率は
である。
(2)
得点がである通りのうち，大きいさいころの目がであるのは，小さいさいころの目がの通りである。よって条件付き確率は
である。
(3)
得点がである確率は
である。したがって期待値は
である。
(4)
AさんとBさんの得点は同じ分布であるから，Aさんの得点が大きい確率とBさんの得点が大きい確率は等しい。引き分けの確率は
である。よって求める確率は
である。
解法2
(1)
得点が5となる組は，一方が5で他方が1以上5以下のものから の重複を除いた 通りである。よって確率は
である。
(2)
この9通りのうち大きいさいころが5であるのは の5通りだから，条件付き確率は である。
(3)
得点を とすると， に対して
である。したがって
(4)
Aの得点が である組は 通り，Bの得点が 未満である組は 通りである。よってAが勝つ組は
通りである。全組は 通りなので，求める確率は である。