問題
を実数とし，座標平面上の曲線
を考える．以下の問いに答えよ．
(1) がどのような値をとっても曲線はつの定点を通る．その点の座標を求めよ．
(2) (1)で求めた点のうち，座標の小さい方を点もう一方を点とし，その点を通る直線をとする．曲線と直線が異なる点で交わり，その交点がすべて線分上にあるようなの値の範囲を求めよ．
(3) の値が(2)で求めた範囲にあるとする．このとき，曲線と(2)で定めた直線で囲まれた部分の面積の最小値を求めよ．
出典：岡山大学 2022年度 前期 文理共通 第4問
方針
解法1（交点の順序で面積を積分する方法）
曲線の式を を含む部分と含まない部分に分け，定点を求める。直線 は となり，交点条件は の根の位置で判定する。面積は2つの区間の符号を見て積分し，得られた を微分して最小値を求める。
解法2（変数を平行移動して対称性を使う方法）
定点と交点条件を求めた後、 と置く。3つの交点が となるため、面積を の式へ整理すると最小値を微分せずに決定できる。
解答
解法1（交点の順序で面積を積分する方法）
(1)
曲線の式は
と書ける。 によらない定点では であるから， である。それぞれ となるので，求める2点は
である。
(2)
(1)より であり，直線 は である。曲線 と の交点は
すなわち
で決まる。異なる3点で交わり，すべて線分 上にあるためには，3つ目の根 が と の間にあればよい。したがって
である。
(3)
とする。 は
であり， で正， で負である。原始関数を
とおくと
である。計算すると
である。よって
である。 では であるから， は で減少し， で増加する。したがって最小は のときで，
である。
解法2（変数を平行移動して対称性を使う方法）
(1)
だから、 によらない点では である。よって
(2)
は であり、
3根 が異なり、すべて に入る条件は
(3)
とおくと であり、
交点は となる。
符号を考えて2区間の面積を足すと
とおけば であり、
等号は 、すなわち のときに成り立つ。よって最小値は