岡山大学 2025年度 前期理系数学 第1問

(1)
$3\cdot 4+11\cdot (-1)=1$ であるから，整数解の一つは$$(x,y)=(4,-1)$$である。

(2)
(1)の両辺を1000倍すると，$(x,y)=(4000,-1000)$ は $3x+11y=1000$ の整数解である。したがって$$3(x-4000)+11(y+1000)=0$$である。$3$ と $11$ は互いに素であるから，整数 $t$ を用いて$$x=4000+11t,y=-1000-3t$$と表される。逆にこの形の $x,y$ はすべて $3x+11y=1000$ を満たす。よって求める整数解は$$(x,y)=(4000+11t,-1000-3t)(t\text{ は整数})$$である。

(3)
自然数条件より$$4000+11t>0,-1000-3t>0$$であるから，$-363\leqq t\leqq -334$ である。また$$x-y=5000+14t$$である。したがってこの範囲の端で調べればよく，$$t=-363\text{ のとき }\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }=82,t=-334\text{ のとき }\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }=324$$となる。よって最大値は $324$ であり，そのとき$$(x,y)=(326,2)$$である。

$3x\equiv 1000(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ を解いて $x$ の合同類を直接求める。小さい特殊解 $(7,89)$ から一般解を表し，自然数条件の端点で $\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$ を比較する。

(1) $3\cdot 4+11\cdot (-1)=1$ より，例えば $(x,y)=(4,-1)$ である。

(2) $3x+11y=1000$ を $11$ を法として見ると$$3x\equiv 10(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)\mathrm{.}$$$3\cdot 4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ だから $x\equiv 7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ である。よって$$x=7+11k(k\in \mathbb{Z})$$とおけば$$y=\frac{1000-3x}{11}=89-3k\mathrm{.}$$したがって全整数解は$$(x,y)=(7+11k,89-3k)(k\in \mathbb{Z})$$である。

(3) 自然数条件から$$k=0,1,\dots ,29.$$また$$x-y=14k-82$$である。絶対値は区間の端で最大となり，$k=0$ で82，$k=29$ で324である。よって最大値は324で，そのとき$$(x,y)=(326,2)$$である。