岡山大学 2017年度 前期文系数学 第2問

(1)
$2^3=8$であり，これは7で割ると1余る。したがって任意の自然数$n$について，$2^{n+3}=2^n\cdot 2^3$は7で割った余りが$2^n$と同じである。よって$$R(2^{n+3})=R(2^n)$$である。

(2)
(1)より余りは指数について3周期である。$2017=3\cdot 672+1$だから，$$R(2^{2017})=R(2)=2$$である。

(3)
同様に$29=3\cdot 9+2$だから$$R(2^{29})=R(2^2)=4$$である。また(2)より$R(2^{2017})=2$であるから，条件は$$R(2m+4)=5$$と同じである。すなわち$2m+4$を7で割った余りが5であるから，$2m$を7で割った余りは1である。$2\cdot 4=8$は7で割ると1余るので，$$R(m)=4$$である。

7を法とする累乗の余りを表にして処理する。最後は$2$の逆元$4$を掛け，一次合同式を直接解く。

(1)
7を法として$$2^1\equiv 2,2^2\equiv 4,2^3\equiv 1$$である。したがって$2^{n+3}\equiv 2^n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$であり，余りも等しい。

(2)
$2017\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$なので$$2^{2017}\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$$より$R(2^{2017})=2$である。

(3)
$29\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$より$2^{29}\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$である。条件は$$2m+4\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$$すなわち$2m\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$となる。$2$の逆元は$4$だから，両辺に$4$を掛けて$$m\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$$を得る。よって$R(m)=4$である。