岡山大学 2021年度 前期理系数学 第3問

(1) $$n^3-n=n(n-1)(n+1)$$である。これは連続する3つの整数の積であるから，2の倍数であり，かつ3の倍数である。したがって6の倍数である。よって $n^3$ と $n$ を6で割った余りは等しい。

(2)
(1)より，任意の整数 $m$ について $m^3$ と $m$ は6で割った余りが等しい。条件式$$a^3+b^3+c^3=(c+1{)}^3$$の両辺を6で割った余りで比べると$$a+b+c\equiv c+1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$$である。したがって$$a+b\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$$となり，$a+b$ を6で割った余りは1である。

(3)
条件式は$$a^3+b^3=3c^2+3c+1$$と変形できる。また $$1\leqq a\leqq b\leqq c\leqq 10$$ より $2\leqq a+b\leqq 20$ であり，(2)から$$a+b=7,13,19$$のいずれかである。

一方，$c\leqq 10$ だから$$a^3+b^3=3c^2+3c+1\leqq 331$$である。$a+b=13$ のときでも $a\leqq b$ のもとで最小の立方和は $6^3+7^3=559$ であり，これは331を超える。したがって $a+b=7$ である。

$a\leqq b$ かつ $a+b=7$ より$$(a,b)=(1,6),(2,5),(3,4)$$である。それぞれについて $a^3+b^3$ は$$217,133,91$$である。これを $3c^2+3c+1$ と比べると，$217$ は $c=8$，$91$ は $c=5$ のときに得られ，$133$ を与える整数 $c$ はない。

よって求める組は$$(a,b,c)=(1,6,8),(3,4,5)$$である。

(1) は6で割った余り0〜5を表にして直接確認する。(2)は表を条件式へ適用する。(3)はまず $b\leqq 6$ を示して $a+b=7$ に絞り，3候補を表で判定する。

(1)
$n$ を6で割った余りを $r$ とする。各余りについて計算すると$$\begin{array}{ccccccc}r& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ r^3<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>6& 0& 1& 2& 3& 4& 5\end{array}$$となる。よって $n$ と $n^3$ の6で割った余りは常に等しい。

(2)
(1)より$$a^3+b^3+c^3\equiv a+b+c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6),(c+1{)}^3\equiv c+1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$$である。条件式の両辺を比較すると$$a+b+c\equiv c+1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$$だから$$a+b\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$$である。

(3)
条件式を整理すると$$a^3+b^3=3c^2+3c+1$$である。$c\leqq 10$ より右辺は331以下なので，$$b^3\leqq a^3+b^3\leqq 331$$ である。したがって $b\leqq 6$ であり，$$2\leqq a+b\leqq 12$$である。(2)と合わせて $a+b=7$ に限られる。$a\leqq b$ より候補は3組である。$$\begin{array}{ccc}(a,b)& a^3+b^3& 3c^2+3c+1=a^3+b^3\\ (1,6)& 217& c=8\\ (2,5)& 133& \text{整数解なし}\\ (3,4)& 91& c=5\end{array}$$実際，中央は $c^2+c-44=0$ の判別式が177で平方数でない。よって$$(a,b,c)=(1,6,8),(3,4,5)$$である。