問題
を実数とする。関数
が で極大値をとるとき，次の問いに答えよ。
(1) の満たす条件を求めよ。
(2) 次の不等式を解け。
(3) が (2) の範囲を動くとき， の最大値と最小値を を用いて表せ。
出典：広島大学 2021年度 前期 文理共通 第1問
方針
解法1（増減表と候補値の比較）
まず を因数分解し， が極大点になるための根の大小を調べる。(2)で絶対値不等式から閉区間を求め，(3)では導関数の符号変化と端点値を比較して最大値・最小値を決める。
解法2（2階微分と端点差による整理）
(1) は停留条件を確認したうえで2階微分により極大条件を直ちに判定する。(2) は絶対値の折れ点ごとに解く。(3) は増減から候補点だけを抽出し，端点値の差を の1次式として比較する。
解答
解法1（増減表と候補値の比較）
(1)
である。で極大値をとるには，導関数の符号がの前後で正から負に変わればよい。は上に凸でない2次式であり，根はとであるから，が大きい方の根でなければならない。よって
である。
(2)
では ，では ，では である。したがって
である。
(3)
(1)より であり，の符号は
である。また
である。のときも であり，のときは区間内で をとらない。したがって最大値は常に左端でとり，
である。最小値については
より，
である。
解法2（2階微分と端点差による整理）
(1)
まず
なので， である。さらに
である。したがって で極大値をとるための条件は
である。 では となり，極大ではない。
(2)
折れ点 で区切る。
よって左側では から ，中央では常に成立し，右側では から である。したがって
となる。
(3)
のもとで
である。したがって最小値の候補は ，最大値の候補は と，区間内にある場合の である。
候補値は
では である一方，
だから，最大値は常に
である。
最小値については
である。よって
となる。境界 では2つの端点値が一致する。