問題
座標平面において，2つの放物線
上にそれぞれ点 ，点 をとる。次の問いに答えよ。
(1) 放物線 上に点 と異なる点 があり， と は垂直であるとする。このとき， の座標を求めよ。
(2) 放物線 上に点 と異なる点 があり， と は垂直であるとする。このとき， の座標を求めよ。
(3) はそれぞれ (1)，(2) で定めたものとする。このとき，四角形 が正方形であることを示せ。
方針
解法1（内積条件を直接因数分解）
放物線上の点をそれぞれ文字で置き，垂直条件を内積ゼロとして方程式にする。既知点 に対応する解を除き，残る実数解を求める。最後は隣り合う辺の長さと内積を計算して正方形を示す。
解法2（直径ACの円を利用）
垂直条件を『点 は直径 の円周上にある』と言い換える。円と2つの放物線の交点を求め，最後は2本の対角線が互いに二等分し，長さが等しく直交することから正方形と判定する。
解答
解法1（内積条件を直接因数分解）
(1)
とおく。垂直条件より
である。は点に対応するので除く。左辺をで割ると
すなわち
である。2次式の判別式は負であるから，。よって
である。
(2)
とおく。垂直条件より
である。整理すると
となる。は点に対応し，2次式の判別式は負である。したがって であり，
である。
(3)
であるから，
であり，さらに
である。また
であるから，四角形は平行四辺形である。隣り合う辺の長さが等しく，かつそのなす角が直角であるので，四角形は正方形である。
解法2（直径ACの円を利用）
(1)
は と同値である。したがって は直径 の円周上にある。この円は
で表される。
ここに を代入すると
を得る。最後の2次式の判別式は
である。 は点 なので除き，
となる。
(2)
同様に より， も直径 の円周上にある。第2の放物線
を円の方程式へ代入して整理すると
となる。最後の2次式の判別式は ，また は点 に対応する。よって
である。
(3)
4点の配置は次のようになる。
対角線の中点はともに
であるから，四角形 は平行四辺形である。また
より
対角線が等しい平行四辺形は長方形であり，対角線が直交する平行四辺形はひし形である。したがって両方を満たす は正方形である。