広島大学 2021年度 前期文系数学 第3問

(1)
$b=1,2,3,4,5,6$の順に，$b^2>4c$を満たす$c$の個数は$$0,0,2,3,6,6$$である。したがって求める確率は$$\frac{17}{36}$$である。

(2)
$a$が偶数のとき，判別式は $b^2-4c$ であるから，条件を満たす $(b,c)$ は(1)より17通りである。$a$が奇数のとき，判別式は $b^2+4c$ であり，常に正である。よって条件を満たす組の数は$$3\cdot 17+3\cdot 36=159$$である。全体は $6^3=216$ 通りなので，求める確率は$$\frac{159}{216}=\frac{53}{72}$$である。

(3) $$f^{\mathrm{\prime }}(1)=2(-1{)}^a+b$$である。$f^{\mathrm{\prime }}(1)=1$となるのは，$a$が奇数で $b=3$ のときだけである。このとき判別式は $b^2+4c>0$ であるから，$c$は6通りすべて可能である。したがって条件を満たす組は $3\cdot 6=18$ 通りである。よって条件付き確率は$$\frac{18}{159}=\frac{6}{53}$$である。

第2投と第3投の組 $(b,c)$ を表にして判別式条件の度数を可視化する。次に第1投の偶奇を3通りずつに分け，条件付き確率は度数の比として求める。

(1)
$b$ を固定したとき，$b^2>4c$ を満たす $c\in \{1,\dots ,6\}$ の個数を並べると$$\begin{array}{cccccccc}b& 1& 2& 3& 4& 5& 6& \text{合計}\\ \mathrm{\#}c& 0& 0& 2& 3& 6& 6& 17\end{array}$$となる。$(b,c)$ は全部で36通りだから$$\frac{17}{36}$$である。

(2)
$a$ が偶数なら$$f(x)=x^2+bx+c,D=b^2-4c$$であり，表から $(b,c)$ は17通りである。$a$ が奇数なら$$f(x)=-x^2+bx+c,D=b^2+4c>0$$なので36通りすべてが該当する。偶数・奇数の目は各3個だから，有利な結果は$$3\times 17+3\times 36=159$$通りである。したがって$$\frac{159}{216}=\frac{53}{72}$$となる。

(3)
導関数は$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=2(-1{)}^a+b$$である。$a$ が偶数なら $2+b=1$ は不可能である。$a$ が奇数なら $-2+b=1$ より $b=3$ であり，このとき $c$ は6通りすべて許される。したがって『異なる2実根をもち，かつ $f^{\mathrm{\prime }}(1)=1$』となるのは$$3\times 1\times 6=18$$通りである。条件事象は (2) の159通りなので$$\frac{18}{159}=\frac{6}{53}$$である。