広島大学 2021年度文系数学第3問解答・解説

問題

1個のさいころを3回投げる。1回目，2回目，3回目に出た目をそれぞれ $a, b, c$ とし，

f (x) = (- 1)^{a} x^{2} + b x + c

とする。次の問いに答えよ。

(1) $b^{2} > 4 c$ である確率を求めよ。

(2) 2次方程式 $f (x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつ確率を求めよ。

(3) 2次方程式 $f (x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつとき， $f^{'} (1) = 1$ である条件付き確率を求めよ。

出典：広島大学 2021年度前期文系第3問

方針

解法1（全事象216通りを数える）

まず $(b, c)$ の36通りを $b$ ごとに数え， $b^{2} > 4 c$ の個数を出す。次に $a$ の偶奇で2次係数が変わるので判別式を分ける。条件付き確率は，実数解をもつ全事象の個数と $f^{'} (1) = 1$ を満たす個数を比べる。

解法2（偶奇別の度数表）

第2投と第3投の組 $(b, c)$ を表にして判別式条件の度数を可視化する。次に第1投の偶奇を3通りずつに分け，条件付き確率は度数の比として求める。

解答

解法1（全事象216通りを数える）

(1)

$b = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ の順に， $b^{2} > 4 c$ を満たす $c$ の個数は

0, 0, 2, 3, 6, 6

である。したがって求める確率は

\frac{17}{36}

である。

(2)

$a$ が偶数のとき，判別式は $b^{2} - 4 c$ であるから，条件を満たす $(b, c)$ は(1)より17通りである。 $a$ が奇数のとき，判別式は $b^{2} + 4 c$ であり，常に正である。よって条件を満たす組の数は

3 \cdot 17 + 3 \cdot 36 = 159

である。全体は $6^{3} = 216$ 通りなので，求める確率は

\frac{159}{216} = \frac{53}{72}

である。

(3)

f^{'} (1) = 2 (- 1)^{a} + b

である。 $f^{'} (1) = 1$ となるのは， $a$ が奇数で $b = 3$ のときだけである。このとき判別式は $b^{2} + 4 c > 0$ であるから， $c$ は6通りすべて可能である。したがって条件を満たす組は $3 \cdot 6 = 18$ 通りである。よって条件付き確率は

\frac{18}{159} = \frac{6}{53}

である。

解法2（偶奇別の度数表）

(1)

$b$ を固定したとき， $b^{2} > 4 c$ を満たす $c \in {1, \dots, 6}$ の個数を並べると

b # c 102032435666 合計 17

となる。 $(b, c)$ は全部で36通りだから

\frac{17}{36}

である。

(2)

$a$ が偶数なら

f (x) = x^{2} + b x + c, D = b^{2} - 4 c

であり，表から $(b, c)$ は17通りである。 $a$ が奇数なら

f (x) = - x^{2} + b x + c, D = b^{2} + 4 c > 0

なので36通りすべてが該当する。偶数・奇数の目は各3個だから，有利な結果は

3 \times 17 + 3 \times 36 = 159

通りである。したがって

\frac{159}{216} = \frac{53}{72}

となる。

(3)

導関数は

f^{'} (1) = 2 (- 1)^{a} + b

である。 $a$ が偶数なら $2 + b = 1$ は不可能である。 $a$ が奇数なら $- 2 + b = 1$ より $b = 3$ であり，このとき $c$ は6通りすべて許される。したがって『異なる2実根をもち，かつ $f^{'} (1) = 1$ 』となるのは

3 \times 1 \times 6 = 18

通りである。条件事象は (2) の159通りなので

\frac{18}{159} = \frac{6}{53}

である。

広島大学 2021年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1（全事象216通りを数える）

解法2（偶奇別の度数表）

解答

解法1（全事象216通りを数える）

(1)

(2)

(3)

解法2（偶奇別の度数表）

(1)

(2)

(3)

広島大学 2021年度
文系数学第3問