広島大学 2021年度 前期文系数学 第4問

(1)
$A=\sin x$ とおく。加法定理と ${\cos }^{2}x=1-A^2$ より整理すると$$\sin 5x=16A^5-20A^3+5A$$である。

(2) $$x=\frac{\pi }{5}$$ とすると $\sin 5x=0$，かつ $\sin x\mathrm{\ne }0$ である。$$u={\sin }^2\frac{\pi }{5}$$ とおくと，(1)より$$16u^2-20u+5=0$$である。したがって$$u=\frac{5\pm \sqrt{5}}{8}$$である。$$0<\frac{\pi }{5}<\frac{\pi }{4}$$より $0<u<\frac{1}{2}$ だから，$${\sin }^2\frac{\pi }{5}=\frac{5-\sqrt{5}}{8}$$である。

(3)
$\cos 3x=\cos 7x$ より$$3x=7x+2k\pi \text{または}3x=-7x+2k\pi$$である。したがって，$x\geqq 0$の共有点の$x$座標は，$\frac{\pi }{2}$の非負整数倍と$\frac{\pi }{5}$の非負整数倍を合わせたものである。小さい方から$$0,\frac{\pi }{5},\frac{2\pi }{5},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{5},\frac{4\pi }{5},\dots$$となるから，$$x_5=\frac{3\pi }{5},x_6=\frac{4\pi }{5}$$である。この区間で $3x$ は $$\frac{9\pi }{5}\leqq 3x\leqq \frac{12\pi }{5}$$ を動くので，最大値は $3x=2\pi$ のときの $1$，最小値は右端の$$\cos \frac{12\pi }{5}=\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$である。よって値域は$$\frac{\sqrt{5}-1}{4}\leqq y\leqq 1$$である。

(1) は $\sin nx\mathrm{/}\sin x$ の漸化式で5倍角を作る。(2) は得られた2次方程式から角の範囲で根を選ぶ。(3) は差を積へ直して共有点を2つの等差数列として並べ，該当区間の余弦の動きを図で確認する。

(1) $$S_n={\displaystyle \frac{\sin nx}{\sin x}}$$ とおくと，加法定理から$$S_{n+1}=2\cos x{S}_n-S_{n-1}$$である。$S_1=1,S_2=2\cos x$ から順に計算すれば$$S_5=16{\cos }^{4}x-12{\cos }^{2}x+1$$を得る。$A=\sin x$，${\cos }^{2}x=1-A^2$ を代入すると$$\sin 5x=A\{16(1-A^2{)}^2-12(1-A^2)+1\}=16A^5-20A^3+5A\mathrm{.}$$(2)$$x={\displaystyle \frac{\pi }{5}}$$ を代入する。$$A=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\mathrm{\ne }0$$ なので$$16A^4-20A^2+5=0.$$$u=A^2$ とおけば$$16u^2-20u+5=0,u=\frac{5\pm \sqrt{5}}{8}\mathrm{.}$$ここで $$0<{\displaystyle \frac{\pi }{5}}<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ だから $0<u<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。よって小さい方の根を選び，$${\sin }^2\frac{\pi }{5}=\frac{5-\sqrt{5}}{8}$$となる。

(3)
積和公式により$$\cos 3x-\cos 7x=2\sin 5x\sin 2x\mathrm{.}$$したがって共有点は$$x=\frac{k\pi }{5}\text{または}x=\frac{k\pi }{2}(k=0,1,2,\dots )$$で与えられる。重複を1回と数えて並べると$$0,\frac{\pi }{5},\frac{2\pi }{5},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{5},\frac{4\pi }{5},\dots$$だから$$x_5=\frac{3\pi }{5},x_6=\frac{4\pi }{5}\mathrm{.}$$この区間では $3x$ が ${\displaystyle \frac{9\pi }{5}}$ から ${\displaystyle \frac{12\pi }{5}}$ まで動く。

最大値は $3x=2\pi$ で $1$，最小値は右端で$$\cos \frac{12\pi }{5}=\cos \frac{2\pi }{5}=1-2{\sin }^2\frac{\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\mathrm{.}$$したがって値域は$$\frac{\sqrt{5}-1}{4}\leqq y\leqq 1$$である。