広島大学 2021年度文系数学第4問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) $A = sin x$ とおく。 $sin 5 x$ を $A$ の整式で表せ。

(2) $sin^{2} \frac{π}{5}$ の値を求めよ。

(3) 曲線 $y = cos 3 x$ （ $x ≧ 0$ ）と曲線 $y = cos 7 x$ （ $x ≧ 0$ ）の共有点の $x$ 座標を，小さい方から順に $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots$ とする。このとき，

y = cos 3 x (x_{5} ≦ x ≦ x_{6})

の値域を求めよ。

出典：広島大学 2021年度前期文系第4問

方針

解法1（5倍角公式と共有点の列挙）

加法定理を繰り返して $sin 5 x$ を $sin x$ の式に直す。(2)では $x = \frac{π}{5}$ を代入し，値の大小で根を選ぶ。(3)では $cos 3 x = cos 7 x$ を解き，最初の共有点を並べてから該当区間で $cos 3 x$ の最大最小を読む。

解法2（三角関数の漸化式と積和公式）

(1) は $sin n x / sin x$ の漸化式で5倍角を作る。(2) は得られた2次方程式から角の範囲で根を選ぶ。(3) は差を積へ直して共有点を2つの等差数列として並べ，該当区間の余弦の動きを図で確認する。

解答

解法1（5倍角公式と共有点の列挙）

(1)

$A = sin x$ とおく。加法定理と $cos^{2} x = 1 - A^{2}$ より整理すると

sin 5 x = 16 A^{5} - 20 A^{3} + 5 A

である。

(2)

$x = \frac{π}{5}$ とすると $sin 5 x = 0$ ，かつ $sin x \neq = 0$ である。 $u = sin^{2} \frac{π}{5}$ とおくと，(1)より

16 u^{2} - 20 u + 5 = 0

である。したがって

u = \frac{5 \pm 5}{8}

である。 $0 < \frac{π}{5} < \frac{π}{4}$ より $0 < u < \frac{1}{2}$ だから，

sin^{2} \frac{π}{5} = \frac{5 - 5}{8}

である。

(3)

$cos 3 x = cos 7 x$ より

3 x = 7 x + 2 k π または 3 x = - 7 x + 2 k π

である。したがって， $x ≧ 0$ の共有点の $x$ 座標は， $\frac{π}{2}$ の非負整数倍と $\frac{π}{5}$ の非負整数倍を合わせたものである。小さい方から

0, \frac{π}{5}, \frac{2 π}{5}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{5}, \frac{4 π}{5}, \dots

となるから， $x_{5} = \frac{3 π}{5}, x_{6} = \frac{4 π}{5}$ である。この区間で $3 x$ は $\frac{9 π}{5} ≦ 3 x ≦ \frac{12 π}{5}$ を動くので，最大値は $3 x = 2 π$ のときの $1$ ，最小値は右端の

cos \frac{12 π}{5} = cos \frac{2 π}{5} = \frac{5 - 1}{4}

である。よって値域は

\frac{5 - 1}{4} ≦ y ≦ 1

である。

解法2（三角関数の漸化式と積和公式）

(1)

$S_{n} = \frac{sin n x}{sin x}$ とおくと，加法定理から

S_{n + 1} = 2 cos x S_{n} - S_{n - 1}

である。 $S_{1} = 1, S_{2} = 2 cos x$ から順に計算すれば

S_{5} = 16 cos^{4} x - 12 cos^{2} x + 1

を得る。 $A = sin x$ ， $cos^{2} x = 1 - A^{2}$ を代入すると

sin 5 x = A {16 (1 - A^{2})^{2} - 12 (1 - A^{2}) + 1} = 16 A^{5} - 20 A^{3} + 5 A .

(2)

$x = \frac{π}{5}$ を代入する。 $A = sin \frac{π}{5} \neq = 0$ なので

16 A^{4} - 20 A^{2} + 5 = 0.

$u = A^{2}$ とおけば

16 u^{2} - 20 u + 5 = 0, u = \frac{5 \pm 5}{8} .

ここで $0 < \frac{π}{5} < \frac{π}{4}$ だから $0 < u < \frac{1}{2}$ である。よって小さい方の根を選び，

sin^{2} \frac{π}{5} = \frac{5 - 5}{8}

となる。

(3)

積和公式により

cos 3 x - cos 7 x = 2 sin 5 x sin 2 x .

したがって共有点は

x = \frac{k π}{5} または x = \frac{k π}{2} (k = 0, 1, 2, \dots)

で与えられる。重複を1回と数えて並べると

0, \frac{π}{5}, \frac{2 π}{5}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{5}, \frac{4 π}{5}, \dots

だから

x_{5} = \frac{3 π}{5}, x_{6} = \frac{4 π}{5} .

この区間では $3 x$ が $\frac{9 π}{5}$ から $\frac{12 π}{5}$ まで動く。

最大値は $3 x = 2 π$ で $1$ ，最小値は右端で

cos \frac{12 π}{5} = cos \frac{2 π}{5} = 1 - 2 sin^{2} \frac{π}{5} = \frac{5 - 1}{4} .

したがって値域は

\frac{5 - 1}{4} ≦ y ≦ 1

である。

広島大学 2021年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1（5倍角公式と共有点の列挙）

解法2（三角関数の漸化式と積和公式）

解答

解法1（5倍角公式と共有点の列挙）

(1)

(2)

(3)

解法2（三角関数の漸化式と積和公式）

(1)

(2)

(3)

広島大学 2021年度
文系数学第4問