広島大学 2022年度 前期理系数学 第1問

(1)
$L_a$の方程式は$$y=a(x+1)$$である。交点の$x$座標は$$x^3+x^2=a(x+1)$$すなわち$$(x+1)(x^2-a)=0$$を満たす。$a<0$なら共有点は1個，$a>0$なら通常3個である。ただし$a=1$では$x=-1$が重なり，また$a=0$では$x=0$が重なる。したがって共有点がちょうど二つであるのは$$a=0,1$$である。

(2)
$a=0$のとき，$L_a$は$x$軸であり，囲まれた部分は$-1\leqq x\leqq 0$にある。面積は$${\int }_{-1}^0(x^3+x^2)dx=\frac{1}{12}$$である。

$a=1$のとき，$-1\leqq x\leqq 1$で直線が曲線の上にあるから，面積は$${\int }_{-1}^1\{(x+1)-(x^3+x^2)\}dx=\frac{4}{3}$$である。

(3)
共有点がちょうど三つであるから，$a>0,a\mathrm{\ne }1$である。$$r=\sqrt{a}$$とおく。

まず$0<r<1$のとき，共有点の順序は$$-1,-r,r$$である。二つの部分の面積差の絶対値は$$\mid -\frac{1}{12}+\frac{r^2}{2}+\frac{2r^3}{3}+\frac{r^4}{4}\mid$$であり，これは$r<1$から$\frac{4}{3}$より小さい。したがって条件を満たさない。

次に$r>1$のとき，共有点の順序は$$-r,-1,r$$である。二つの部分の面積差の絶対値は$$\frac{4r^3}{3}$$である。これが$\frac{3}{2}$に等しいので$$\frac{4r^3}{3}=\frac{3}{2}$$となり，$$r^3=\frac{9}{8}$$である。よって$$a=r^2={\left(\frac{9}{8}\right)}^{2\mathrm{/}3}$$である。

曲線と直線の差を $F_a(x)=(x+1)(x^2-a)$ と因数分解する。
(3)では二つの面積を別々に積分せず、外側の2交点の間の符号付き積分が
二つの面積の差になることを利用する。

(1)
曲線 $C$ の高さから直線 $L_a$ の高さを引くと$$F_a(x)=x^3+x^2-a(x+1)=(x+1)(x^2-a)\mathrm{.}$$$a<0$ では実根が1個、$a>0$ では$$x=-1,\pm \sqrt{a}$$ の3根をもつ。ただし重根が生じる
$a=0,1$ では共有点がちょうど2個になる。よって$$a=0,a=1.$$(2)
$a=0$ では$${\int }_{-1}^0(x^3+x^2)dx=\frac{1}{12}\mathrm{.}$$$a=1$ では$${\int }_{-1}^1\{(x+1)-(x^3+x^2)\}dx=\frac{4}{3}\mathrm{.}$$(3)$$r=\sqrt{a}$$ とおく。共有点が3個だから $r>0$ かつ $r\mathrm{\ne }1$ である。
二つの部分の面積を $A_1,A_2$ とすると、符号が交点ごとに変わるので$$\mathrm{\mid }{A}_1-A_2\mathrm{\mid }=\mid {\int }_{\alpha }^{\gamma }{F}_a(x)dx\mid ,$$ただし $\alpha <\gamma$ は外側の2交点である。

まず $0<r<1$ では外側の交点は $-1,r$ であり、$$D(r)=-{\int }_{-1}^r(x+1)(x^2-r^2)dx=-\frac{1}{12}+\frac{r^2}{2}+\frac{2r^3}{3}+\frac{r^4}{4}\mathrm{.}$$ここで$$D^{\mathrm{\prime }}(r)=r(1+r{)}^2>0,D(0)=-\frac{1}{12},D(1)=\frac{4}{3}\mathrm{.}$$よって $\mathrm{\mid }D(r)\mathrm{\mid }<4\mathrm{/}3<3\mathrm{/}2$ であり、条件を満たさない。

次に $r>1$ では外側の交点は $-r,r$ である。奇関数部分が消えるので$$\mathrm{\mid }{A}_1-A_2\mathrm{\mid }=\mid {\int }_{-r}^r(x+1)(x^2-r^2)dx\mid =\frac{4r^3}{3}\mathrm{.}$$これが $3\mathrm{/}2$ に等しいから$$r^3=\frac{9}{8},a=r^2={\left(\frac{9}{8}\right)}^{2\mathrm{/}3}\mathrm{.}$$