広島大学 2022年度理系数学第1問解答・解説

問題

座標平面上の曲線 $y = x^{3} + x^{2}$ を $C$ とする．また， $a$ を実数とし， $L_{a}$ を点 $(- 1, 0)$ を通る傾き $a$ の直線とする．このとき，次の問いに答えよ．(1)　 $C$ と $L_{a}$ がちょうど二つの共有点をもつような $a$ の値をすべて求めよ．(2)　 $a$ が(1)の条件を満たすそれぞれの場合について， $C$ と $L_{a}$ で囲まれた部分の面積を求めよ．(3)　 $C$ と $L_{a}$ がちょうど三つの共有点をもち，さらに $C$ と $L_{a}$ で囲まれた二つの部分の面積の差の絶対値が $\frac{3}{2}$ となるとき， $a$ の値を求めよ．

出典：広島大学 2022年度前期理系第1問

方針

解法1（共有点の順序で面積を場合分けする方法）

交点方程式を $(x + 1) (x^{2} - a) = 0$ と因数分解する。面積は共有点の順序で場合分けし， $r = a$ とおいて二つの部分の面積差を計算する。

解法2（二つの面積の差を符号付き積分で求める方法）

曲線と直線の差を $F_{a} (x) = (x + 1) (x^{2} - a)$ と因数分解する。(3)では二つの面積を別々に積分せず、外側の2交点の間の符号付き積分が二つの面積の差になることを利用する。

解答

解法1（共有点の順序で面積を場合分けする方法）

(1)

$L_{a}$ の方程式は

y = a (x + 1)

である。交点の $x$ 座標は

x^{3} + x^{2} = a (x + 1)

すなわち

(x + 1) (x^{2} - a) = 0

を満たす。 $a < 0$ なら共有点は1個， $a > 0$ なら通常3個である。ただし $a = 1$ では $x = - 1$ が重なり，また $a = 0$ では $x = 0$ が重なる。したがって共有点がちょうど二つであるのは

a = 0, 1

である。

(2)

$a = 0$ のとき， $L_{a}$ は $x$ 軸であり，囲まれた部分は $- 1 ≦ x ≦ 0$ にある。面積は

\int_{- 1}^{0} (x^{3} + x^{2}) d x = \frac{1}{12}

である。

$a = 1$ のとき， $- 1 ≦ x ≦ 1$ で直線が曲線の上にあるから，面積は

\int_{- 1}^{1} {(x + 1) - (x^{3} + x^{2})} d x = \frac{4}{3}

である。

(3)

共有点がちょうど三つであるから， $a > 0, a \neq = 1$ である。 $r = a$ とおく。

まず $0 < r < 1$ のとき，共有点の順序は

- 1, - r, r

である。二つの部分の面積差の絶対値は

- \frac{1}{12} + \frac{r ^{2}}{2} + \frac{2 r ^{3}}{3} + \frac{r ^{4}}{4}

であり，これは $r < 1$ から $\frac{4}{3}$ より小さい。したがって条件を満たさない。

次に $r > 1$ のとき，共有点の順序は

- r, - 1, r

である。二つの部分の面積差の絶対値は

\frac{4 r ^{3}}{3}

である。これが $\frac{3}{2}$ に等しいので

\frac{4 r ^{3}}{3} = \frac{3}{2}

となり，

r^{3} = \frac{9}{8}

である。よって

a = r^{2} = (\frac{9}{8})^{2/3}

である。

解法2（二つの面積の差を符号付き積分で求める方法）

(1)

曲線 $C$ の高さから直線 $L_{a}$ の高さを引くと

F_{a} (x) = x^{3} + x^{2} - a (x + 1) = (x + 1) (x^{2} - a) .

$a < 0$ では実根が1個、 $a > 0$ では $x = - 1, \pm a$ の3根をもつ。ただし重根が生じる $a = 0, 1$ では共有点がちょうど2個になる。よって

a = 0, a = 1.

(2)

$a = 0$ では

\int_{- 1}^{0} (x^{3} + x^{2}) d x = \frac{1}{12} .

$a = 1$ では

\int_{- 1}^{1} {(x + 1) - (x^{3} + x^{2})} d x = \frac{4}{3} .

(3)

$r = a$ とおく。共有点が3個だから $r > 0$ かつ $r \neq = 1$ である。二つの部分の面積を $A_{1}, A_{2}$ とすると、符号が交点ごとに変わるので

∣ A_{1} - A_{2} ∣ = \int_{α}^{γ} F_{a} (x) d x,

ただし $α < γ$ は外側の2交点である。

まず $0 < r < 1$ では外側の交点は $- 1, r$ であり、

D (r) = - \int_{- 1}^{r} (x + 1) (x^{2} - r^{2}) d x = - \frac{1}{12} + \frac{r ^{2}}{2} + \frac{2 r ^{3}}{3} + \frac{r ^{4}}{4} .

ここで

D^{'} (r) = r (1 + r)^{2} > 0, D (0) = - \frac{1}{12}, D (1) = \frac{4}{3} .

よって $∣ D (r) ∣ < 4/3 < 3/2$ であり、条件を満たさない。

次に $r > 1$ では外側の交点は $- r, r$ である。奇関数部分が消えるので

∣ A_{1} - A_{2} ∣ = \int_{- r}^{r} (x + 1) (x^{2} - r^{2}) d x = \frac{4 r ^{3}}{3} .

これが $3/2$ に等しいから

r^{3} = \frac{9}{8}, a = r^{2} = (\frac{9}{8})^{2/3} .

広島大学 2022年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1（共有点の順序で面積を場合分けする方法）

解法2（二つの面積の差を符号付き積分で求める方法）

解答

解法1（共有点の順序で面積を場合分けする方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（二つの面積の差を符号付き積分で求める方法）

(1)

(2)

(3)

広島大学 2022年度
理系数学第1問