広島大学 2022年度理系数学第5問解答・解説

問題

次の問いに答えよ．(1)　 $2^{(2^{2})}$ と $(2^{2})^{2}$ との大小を比較せよ．(2)　関数 $f (x)$ を $f (x) = 2^{x}$ と定義し，座標平面上の曲線 $y = f (x)$ を $C$ とする． $C$ 上の点 $(2, f (2))$ における接線の方程式を，実数 $m,$ $k$ を用いて $y = m x + k$ と表すとき， $m$ と $k$ の値をそれぞれ求めよ．(3)　 $f (x)$ および $m$ と $k$ を(2)のように定める．すべての実数 $x$ に対して $f (x) ≧ m x + k$ が成り立つことを示せ．(4)　数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = 2$ および漸化式 $a_{n + 1} = 2^{a_{n}}$ （ $n = 1,$ $2,$ $3 ， \dots$ ）により定義する．自然数 $n$ に対して $2 - a_{n + 1} ≦ (lo g 2) \cdot (2 - a_{n})$ が成り立つことを示し，極限値 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ．必要ならば，自然対数の底が $e = 2.718 \dots$ であることを用いてよい．

出典：広島大学 2022年度前期理系第5問

方針

解法1（接線との差の増減を調べる方法）

(1)は底 $2 > 1$ にそろえて指数を比較する。(2)(3)は接線を求め，差の関数の増減から接線が下にあることを示す。(4)は(3)を $x = a_{n}$ に適用し， $0 < lo g 2 < 1$ を使って $2 - a_{n}$ をはさむ。

解法2（凸性と平均値の定理を使う方法）

$f (x) = (2)^{x}$ の2階導関数が正であることから、グラフが $x = 2$ における接線以上にあることを示す。数列の収束は、平均値の定理で誤差 $2 - a_{n}$ が毎回 $lo g 2$ 倍未満になることを示す。

解答

解法1（接線との差の増減を調べる方法）

(1)

(2^{2})^{2} = (2)^{2} = 2

である。また $2 < 2$ で，底 $2$ は1より大きいから

2^{2} < (2)^{2} = 2

である。したがって

2^{(2^{2})} < (2)^{2} = 2

となる。よって

2^{(2^{2})} < (2^{2})^{2}

である。

(2)

f^{'} (x) = \frac{lo g 2}{2} (2)^{x}

である。 $f (2) = 2$ より，接線の傾きは

m = f^{'} (2) = lo g 2

である。接線が $(2, 2)$ を通るから

2 = 2 m + k

であり，

k = 2 - 2 lo g 2

である。

(3)

h (x) = f (x) - {(lo g 2) x + 2 - 2 lo g 2}

とおく。すると

h^{'} (x) = \frac{lo g 2}{2} f (x) - lo g 2 = lo g 2 (\frac{f ( x )}{2} - 1)

である。 $f (x)$ は増加関数であり， $f (2) = 2$ であるから， $h^{'} (x) < 0$ は $x < 2$ ， $h^{'} (x) > 0$ は $x > 2$ で成り立つ。また $h^{'} (2) = 0$ である。したがって $h (x)$ は $x = 2$ で最小となり，

h (2) = 0

である。よってすべての実数 $x$ について

f (x) ≧ (lo g 2) x + 2 - 2 lo g 2 = m x + k

である。

(4)

(3)を $x = a_{n}$ に適用すると

a_{n + 1} = f (a_{n}) ≧ (lo g 2) a_{n} + 2 - 2 lo g 2

である。したがって

2 - a_{n + 1} ≦ (lo g 2) (2 - a_{n})

が成り立つ。

また $a_{1} = 2 < 2$ であり， $a_{n} < 2$ なら

a_{n + 1} = (2)^{a_{n}} < (2)^{2} = 2

であるから，すべての自然数 $n$ について $a_{n} < 2$ である。よって

0 < 2 - a_{n + 1} ≦ (lo g 2) (2 - a_{n})

である。 $e > 2$ より $0 < lo g 2 < 1$ であるから

0 < 2 - a_{n} ≦ (lo g 2)^{n - 1} (2 - 2)

となる。右辺は0に収束するので

n \to \infty lim a_{n} = 2

である。

解法2（凸性と平均値の定理を使う方法）

(1)

$1 < 2 < 2$ だから

2^{2} < 2^{2} = 2.

底 $2$ は1より大きいので、指数を比べて

2^{(2^{2})} < 2^{2} = (2^{2})^{2} .

(2)

f^{'} (x) = \frac{lo g 2}{2} (2)^{x}, f (2) = 2, f^{'} (2) = lo g 2.

よって接線 $y = m x + k$ は

m = lo g 2, k = 2 - 2 lo g 2.

(3)

f^{''} (x) = \frac{( lo g 2 ) ^{2}}{4} (2)^{x} > 0

だから $f$ は狭義凸関数である。したがってグラフは各接線の上側にあり、特に $x = 2$ における接線について

f (x) ≧ (lo g 2) x + 2 - 2 lo g 2

がすべての実数 $x$ で成り立つ。

(4)

$a_{1} = 2 < 2$ であり、 $a_{n} < 2$ なら

a_{n + 1} = (2)^{a_{n}} < (2)^{2} = 2.

よって帰納的に $a_{n} < 2$ である。平均値の定理により、 $a_{n} < ξ_{n} < 2$ を満たす $ξ_{n}$ が存在して

2 - a_{n + 1} = f (2) - f (a_{n}) = f^{'} (ξ_{n}) (2 - a_{n}) .

$f^{'}$ は増加し、 $e > 2$ より $f^{'} (2) = lo g 2 < 1$ だから

0 < 2 - a_{n + 1} < (lo g 2) (2 - a_{n}) .

繰り返すと

0 < 2 - a_{n} < (lo g 2)^{n - 1} (2 - 2) ⟶ 0.

はさみうちの原理より

n \to \infty lim a_{n} = 2.

広島大学 2022年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1（接線との差の増減を調べる方法）

解法2（凸性と平均値の定理を使う方法）

解答

解法1（接線との差の増減を調べる方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（凸性と平均値の定理を使う方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2022年度
理系数学第5問