広島大学 2022年度 前期理系数学 第5問

(1) $$({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{)}^{\sqrt{2}}=(\sqrt{2}{)}^2=2$$である。また$\sqrt{2}<2$で，底$\sqrt{2}$は1より大きいから$${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}<(\sqrt{2}{)}^2=2$$である。したがって$${\sqrt{2}}^{({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})}<(\sqrt{2}{)}^2=2$$となる。よって$${\sqrt{2}}^{({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})}<({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{)}^{\sqrt{2}}$$である。

(2) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{\log 2}{2}(\sqrt{2}{)}^x$$である。$f(2)=2$より，接線の傾きは$$m=f^{\mathrm{\prime }}(2)=\log 2$$である。接線が$(2,2)$を通るから$$2=2m+k$$であり，$$k=2-2\log 2$$である。

(3) $$h(x)=f(x)-\{(\log 2)x+2-2\log 2\}$$とおく。すると$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{\log 2}{2}f(x)-\log 2=\log 2(\frac{f(x)}{2}-1)$$である。$f(x)$は増加関数であり，$f(2)=2$であるから，$h^{\mathrm{\prime }}(x)<0$は$x<2$，$h^{\mathrm{\prime }}(x)>0$は$x>2$で成り立つ。また$h^{\mathrm{\prime }}(2)=0$である。したがって$h(x)$は$x=2$で最小となり，$$h(2)=0$$である。よってすべての実数$x$について$$f(x)\geqq (\log 2)x+2-2\log 2=mx+k$$である。

(4)
(3)を$x=a_n$に適用すると$$a_{n+1}=f(a_n)\geqq (\log 2)a_n+2-2\log 2$$である。したがって$$2-a_{n+1}\leqq (\log 2)(2-a_n)$$が成り立つ。

また$a_1=\sqrt{2}<2$であり，$a_n<2$なら$$a_{n+1}=(\sqrt{2}{)}^{a_n}<(\sqrt{2}{)}^2=2$$であるから，すべての自然数$n$について$a_n<2$である。よって$$0<2-a_{n+1}\leqq (\log 2)(2-a_n)$$である。$e>2$より$0<\log 2<1$であるから$$0<2-a_n\leqq (\log 2{)}^{n-1}(2-\sqrt{2})$$となる。右辺は0に収束するので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=2$$である。

$f(x)=(\sqrt{2}{)}^x$ の2階導関数が正であることから、グラフが
$x=2$ における接線以上にあることを示す。数列の収束は、平均値の定理で
誤差 $2-a_n$ が毎回 $\log 2$ 倍未満になることを示す。

(1)
$1<\sqrt{2}<2$ だから$${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}<{\sqrt{2}}^2=2.$$底 $\sqrt{2}$ は1より大きいので、指数を比べて$${\sqrt{2}}^{\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}<{\sqrt{2}}^2={\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$(2)$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{\log 2}{2}(\sqrt{2}{)}^x,f(2)=2,f^{\mathrm{\prime }}(2)=\log 2.$$よって接線 $y=mx+k$ は$$m=\log 2,k=2-2\log 2.$$(3)$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(\log 2{)}^2}{4}(\sqrt{2}{)}^x>0$$だから $f$ は狭義凸関数である。したがってグラフは各接線の上側にあり、
特に $x=2$ における接線について$$f(x)\geqq (\log 2)x+2-2\log 2$$がすべての実数 $x$ で成り立つ。

(4)
$a_1=\sqrt{2}<2$ であり、$a_n<2$ なら$$a_{n+1}=(\sqrt{2}{)}^{a_n}<(\sqrt{2}{)}^2=2.$$よって帰納的に $a_n<2$ である。平均値の定理により、
$a_n<{\xi }_n<2$ を満たす ${\xi }_n$ が存在して$$2-a_{n+1}=f(2)-f(a_n)=f^{\mathrm{\prime }}({\xi }_n)(2-a_n)\mathrm{.}$$$f^{\mathrm{\prime }}$ は増加し、$e>2$ より $f^{\mathrm{\prime }}(2)=\log 2<1$ だから$$0<2-a_{n+1}<(\log 2)(2-a_n)\mathrm{.}$$繰り返すと$$0<2-a_n<(\log 2{)}^{n-1}(2-\sqrt{2})⟶0.$$はさみうちの原理より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=2.$$