広島大学 2023年度理系数学第2問解答・解説

問題

原点を $O$ とする座標平面上の $2$ 点 $A$ $(3, 0),$ $B$ $(1, 1)$ を考える． $α,$ $β$ を実数とし，点 $P$ $(α, β)$ は直線 $O A$ 上にも直線 $O B$ 上にもないとする．直線 $O A$ に関して点 $P$ と対称な点を $Q$ とし，直線 $O B$ に関して点 $P$ と対称な点を $R$ とする．次の問いに答えよ．(1)　点 $Q$ および点 $R$ の座標を， $α,$ $β$ を用いて表せ．(2)　直線 $O A$ と直線 $QR$ が交点 $S$ をもつための条件を， $α,$ $β$ のうちの必要なものを用いて表せ．さらに，このときの交点 $S$ の座標を， $α,$ $β$ のうちの必要なものを用いて表せ．(3)　直線 $O B$ と直線 $QR$ が交点 $T$ をもつための条件を， $α,$ $β$ のうちの必要なものを用いて表せ．さらに，このときの交点 $T$ の座標を， $α,$ $β$ のうちの必要なものを用いて表せ．(4)　 $α,$ $β$ は(2)と(3)の両方の条件を満たすとし， $S,$ $T$ は(2)，(3)で定めた点であるとする．このとき，直線 $O A$ と直線 $B S$ が垂直となり，直線 $O B$ と直線 $A T$ が垂直となる $α,$ $β$ の値を求めよ．

出典：広島大学 2023年度前期理系第2問

方針

解法1

反射先を座標で表し，直線 $QR$ を媒介変数で表す。 $O A$ との交点は $y = 0$ ， $O B$ との交点は $y = x$ を代入して求め，最後は垂直条件を座標の条件に直す。

解法2（直線QRの法線ベクトルを直接求める方法）

反射で得た $Q, R$ を結ぶ直線を、傾きではなく法線方程式で表す。軸との交点は代入だけで求まり、最後の垂直条件も方向ベクトルの内積が0という形で処理できる。

解答

解法1

(1)

$O A$ は $x$ 軸であり， $O B$ は直線 $y = x$ である。したがって

Q = (α, - β), R = (β, α)

である。

(2)

直線 $QR$ 上の点を

(α, - β) + u (β - α, α + β)

と表す。 $O A$ との交点では $y = 0$ であるから

- β + u (α + β) = 0

である。よって交点をもつための条件は $α + β \neq = 0$ であり，このとき

u = \frac{β}{α + β}

である。したがって

S = (\frac{α ^{2} + β ^{2}}{α + β}, 0)

である。

(3)

$O B$ との交点では $x = y$ であるから

α + u (β - α) = - β + u (α + β)

となる。これは

α + β = 2 α u

であるから，交点をもつための条件は $α \neq = 0$ であり，このとき

u = \frac{α + β}{2 α}

である。よって

T = (\frac{α ^{2} + β ^{2}}{2 α}, \frac{α ^{2} + β ^{2}}{2 α})

である。

(4)

(2)，(3)より $α + β \neq = 0, α \neq = 0$ である。直線 $O A$ と直線 $B S$ が垂直であるためには， $B S$ が鉛直であればよい。点 $B$ の $x$ 座標は1であるから

\frac{α ^{2} + β ^{2}}{α + β} = 1

である。また，直線 $O B$ の傾きは1であるから，直線 $A T$ の傾きが $- 1$ であればよい。したがって

\frac{α ^{2} + β ^{2}}{2 α} = \frac{3}{2}

である。よって

α^{2} + β^{2} = α + β, α^{2} + β^{2} = 3 α

が成り立つ。これらから $β = 2 α$ であり，

5 α^{2} = 3 α

となる。ここで $α \neq = 0$ より

α = \frac{3}{5}, β = \frac{6}{5}

である。

解法2（直線QRの法線ベクトルを直接求める方法）

(1)

直線 $O A$ は $x$ 軸、直線 $O B$ は $y = x$ である。したがって

Q = (α, - β), R = (β, α) .

(2)(3)

$QR = (β - α, α + β)$ だから、その法線ベクトルとして

(α + β, α - β)

をとれる。点 $Q$ を通ることを用いると、直線 $QR$ の方程式は

(α + β) x + (α - β) y = α^{2} + β^{2} . (1)

となる。

$O A$ との交点では $y = 0$ であるから、交点をもつ条件は

α + β \neq = 0

であり、

S = (\frac{α ^{2} + β ^{2}}{α + β}, 0) .

$O B$ との交点では $y = x$ であるから、(1)は

2 α x = α^{2} + β^{2}

となる。したがって交点をもつ条件は

α \neq = 0

であり、

T = (\frac{α ^{2} + β ^{2}}{2 α}, \frac{α ^{2} + β ^{2}}{2 α}) .

(4)

$S = (s, 0)$ とおく。 $O A$ の方向ベクトルは $(1, 0)$ なので、

O A ⊥ B S ⟺ (1, 0) \cdot (s - 1, - 1) = 0 ⟺ s = 1.

よって

\frac{α ^{2} + β ^{2}}{α + β} = 1. (2)

また $T = (t, t)$ とおくと、 $O B$ の方向ベクトルは $(1, 1)$ であるから

O B ⊥ A T ⟺ (1, 1) \cdot (t - 3, t) = 0 ⟺ t = \frac{3}{2} .

よって

\frac{α ^{2} + β ^{2}}{2 α} = \frac{3}{2}, α^{2} + β^{2} = 3 α . (3)

(2),(3)の右辺を比較すると

α + β = 3 α, すなわち β = 2 α .

これを(3)に代入して

5 α^{2} = 3 α .

交点条件より $α \neq = 0$ だから

α = \frac{3}{5}, β = \frac{6}{5} .

広島大学 2023年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2（直線QRの法線ベクトルを直接求める方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（直線QRの法線ベクトルを直接求める方法）

(1)

(2)(3)

(4)

広島大学 2023年度
理系数学第2問