広島大学 2023年度 前期理系数学 第2問

(1)
$OA$は$x$軸であり，$OB$は直線$y=x$である。したがって$$Q=(\alpha ,-\beta ),R=(\beta ,\alpha )$$である。

(2)
直線$QR$上の点を$$(\alpha ,-\beta )+u(\beta -\alpha ,\alpha +\beta )$$と表す。$OA$との交点では$y=0$であるから$$-\beta +u(\alpha +\beta )=0$$である。よって交点をもつための条件は$\alpha +\beta \mathrm{\ne }0$であり，このとき$$u=\frac{\beta }{\alpha +\beta }$$である。したがって$$S=(\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{\alpha +\beta },0)$$である。

(3)
$OB$との交点では$x=y$であるから$$\alpha +u(\beta -\alpha )=-\beta +u(\alpha +\beta )$$となる。これは$$\alpha +\beta =2\alpha u$$であるから，交点をもつための条件は$\alpha \mathrm{\ne }0$であり，このとき$$u=\frac{\alpha +\beta }{2\alpha }$$である。よって$$T=(\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{2\alpha },\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{2\alpha })$$である。

(4)
(2)，(3)より$\alpha +\beta \mathrm{\ne }0,\alpha \mathrm{\ne }0$である。直線$OA$と直線$BS$が垂直であるためには，$BS$が鉛直であればよい。点$B$の$x$座標は1であるから$$\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{\alpha +\beta }=1$$である。また，直線$OB$の傾きは1であるから，直線$AT$の傾きが$-1$であればよい。したがって$$\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{2\alpha }=\frac{3}{2}$$である。よって$${\alpha }^2+{\beta }^2=\alpha +\beta ,{\alpha }^2+{\beta }^2=3\alpha$$が成り立つ。これらから$\beta =2\alpha$であり，$$5{\alpha }^2=3\alpha$$となる。ここで$\alpha \mathrm{\ne }0$より$$\alpha =\frac{3}{5},\beta =\frac{6}{5}$$である。

反射で得た $Q,R$ を結ぶ直線を、傾きではなく法線方程式で表す。軸との交点は代入だけで求まり、最後の垂直条件も方向ベクトルの内積が0という形で処理できる。

(1)
直線 $OA$ は $x$ 軸、直線 $OB$ は $y=x$ である。したがって$$Q=(\alpha ,-\beta ),R=(\beta ,\alpha )\mathrm{.}$$(2)(3)$$\overrightarrow{QR}=(\beta -\alpha ,\alpha +\beta )$$ だから、その法線ベクトルとして$$(\alpha +\beta ,\alpha -\beta )$$をとれる。点 $Q$ を通ることを用いると、直線 $QR$ の方程式は$$\begin{array}{cccc}& (\alpha +\beta )x+(\alpha -\beta )y={\alpha }^2+{\beta }^2\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$となる。

$OA$ との交点では $y=0$ であるから、交点をもつ条件は$$\alpha +\beta \mathrm{\ne }0$$であり、$$S=(\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{\alpha +\beta },0)\mathrm{.}$$$OB$ との交点では $y=x$ であるから、(1)は$$2\alpha x={\alpha }^2+{\beta }^2$$となる。したがって交点をもつ条件は$$\alpha \mathrm{\ne }0$$であり、$$T=(\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{2\alpha },\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{2\alpha })\mathrm{.}$$(4)
$S=(s,0)$ とおく。$OA$ の方向ベクトルは $(1,0)$ なので、$$OA\perp BS⟺(1,0)\cdot (s-1,-1)=0⟺s=1.$$よって$$\begin{array}{cccc}& \frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{\alpha +\beta }=1.& & \text{(2)}\end{array}$$また $T=(t,t)$ とおくと、$OB$ の方向ベクトルは $(1,1)$ であるから$$OB\perp AT⟺(1,1)\cdot (t-3,t)=0⟺t=\frac{3}{2}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{cccc}& \frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{2\alpha }=\frac{3}{2},{\alpha }^2+{\beta }^2=3\alpha \mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$(2),(3)の右辺を比較すると$$\alpha +\beta =3\alpha ,\text{すなわち}\beta =2\alpha \mathrm{.}$$これを(3)に代入して$$5{\alpha }^2=3\alpha \mathrm{.}$$交点条件より $\alpha \mathrm{\ne }0$ だから$${\displaystyle \alpha =\frac{3}{5},\beta =\frac{6}{5}\mathrm{.}}$$