広島大学 2023年度理系数学第5問解答・解説

問題

関数 $f (x) = lo g \frac{3 x + 3}{x ^{2} + 3}$ について，次の問いに答えよ．(1)　 $y = f (x)$ のグラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．(2)　 $s$ を定数とするとき，次の $x$ についての方程式(＊)の異なる実数解の個数を調べよ．(＊)　 $f (x) = s$ (3)　定積分 $\int_{0}^{3} \frac{2 x ^{2}}{x ^{2} + 3} d x$ の値を求めよ．(4)　(2)の(＊)が実数解をもつ $s$ に対して，(2)の(＊)の実数解のうち最大のものから最小のものを引いた差を $g (s)$ とする．ただし，(2)の(＊)の実数解が一つだけであるときには $g (s) = 0$ とする．関数 $f (x)$ の最大値を $α$ とおくとき，定積分 $\int_{0}^{α} g (s) d s$ の値を求めよ．

出典：広島大学 2023年度前期理系第5問

方針

解法1

まず定義域と増減を調べる。 $0 ≦ s ≦ α$ での $g (s)$ は，水平線 $y = s$ がグラフの正の部分を切る横幅なので， $\int_{0}^{α} g (s) d s$ を $\int_{0}^{3} f (x) d x$ として計算する。

解法2（2解の幅を判別式で表して直接積分する方法）

$r = e^{s}$ とおいて方程式 $f (x) = s$ を $x$ の2次方程式に直す。2実根の差は「判別式の平方根÷2次係数」なので $g (s)$ を明示できる。最後は $r - \frac{1}{2} = cos θ$ と置換して直接積分する。

解答

解法1

(1)

定義域は $x > - 1$ である。

f^{'} (x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x}{x ^{2} + 3} = - \frac{( x + 3 ) ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x ^{2} + 3 )}

である。したがって $f (x)$ は $- 1 < x < 1$ で増加し， $x > 1$ で減少する。また

f (0) = 0, f (3) = 0, f (1) = lo g \frac{3}{2}

であり，

x \to - 1 + 0 lim f (x) = - \infty, x \to \infty lim f (x) = - \infty

である。よってグラフは $x = 1$ で最大値 $lo g \frac{3}{2}$ をとり， $(0, 0)$ ， $(3, 0)$ を通る形である。

(2)

α = lo g \frac{3}{2}

とおく。(1)の増減より，方程式 $f (x) = s$ の異なる実数解の個数は

⎩ ⎨ ⎧ 012 (s > α), (s = α), (s < α)

である。

(3)

\int_{0}^{3} \frac{2 x ^{2}}{x ^{2} + 3} d x = \int_{0}^{3} (2 - \frac{6}{x ^{2} + 3}) d x

である。 $x = 3 tan θ$ とおくと， $x = 0$ のとき $θ = 0$ ， $x = 3$ のとき $θ = \frac{π}{3}$ であり，

\int_{0}^{3} \frac{d x}{x ^{2} + 3} = \frac{1}{3} \int_{0}^{π /3} d θ = \frac{π}{3 3}

である。したがって

\int_{0}^{3} \frac{2 x ^{2}}{x ^{2} + 3} d x = 6 - \frac{2 π}{3}

である。

(4)

$0 ≦ s ≦ α$ のとき， $g (s)$ はグラフ $y = f (x)$ のうち $0 ≦ x ≦ 3$ ， $y ≧ 0$ の部分を水平線で切った長さである。したがって

\int_{0}^{α} g (s) d s = \int_{0}^{3} f (x) d x

である。ここで

\int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{3} lo g (3 x + 3) d x - \int_{0}^{3} lo g (x^{2} + 3) d x

である。まず

\int_{0}^{3} lo g (3 x + 3) d x = 3 lo g 3 + 4 lo g 4 - 3

である。また，部分積分により

\int_{0}^{3} lo g (x^{2} + 3) d x = 3 lo g 12 - \int_{0}^{3} \frac{2 x ^{2}}{x ^{2} + 3} d x

であるから，(3)を用いて

\int_{0}^{3} lo g (x^{2} + 3) d x = 3 lo g 12 - 6 + \frac{2 π}{3}

である。よって

\int_{0}^{α} g (s) d s = 3 + 2 lo g 2 - \frac{2 π}{3}

である。

解法2（2解の幅を判別式で表して直接積分する方法）

(1)

定義域は $x > - 1$ である。また

f^{'} (x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x}{x ^{2} + 3} = - \frac{( x + 3 ) ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x ^{2} + 3 )} .

したがって $f$ は $- 1 < x < 1$ で増加し、 $x > 1$ で減少する。

f (0) = f (3) = 0, f (1) = lo g \frac{3}{2},

x \to - 1 + 0 lim f (x) = - \infty, x \to \infty lim f (x) = - \infty.

よって最大値は

α = lo g \frac{3}{2}

であり、グラフの概形は次の通りである。

(2)

$r = e^{s} > 0$ とおくと $f (x) = s$ は

\frac{3 x + 3}{x ^{2} + 3} = r, r x^{2} - 3 x + 3 r - 3 = 0 (1)

と同値である。この2次方程式の判別式は

Δ = 9 + 12 r - 12 r^{2} = 12 {1 - (r - \frac{1}{2})^{2}} .

$r > 0$ のもとで $Δ$ の符号を調べると、

s 異なる実数解の個数 s < α 2 s = α 1 s > α 0

となる。なお(1)の実根は元の定義域 $x > - 1$ に含まれる。実際、元の関数の増減からも各枝に1個ずつ対応する。

(3)

\frac{2 x ^{2}}{x ^{2} + 3} = 2 - \frac{6}{x ^{2} + 3} .

$x = 3 tan θ$ とおけば、 $x = 0, 3$ は $θ = 0, π /3$ に対応するから

\int_{0}^{3} \frac{d x}{x ^{2} + 3} = \frac{1}{3} \int_{0}^{π /3} d θ = \frac{π}{3 3} .

したがって

\int_{0}^{3} \frac{2 x ^{2}}{x ^{2} + 3} d x = 6 - \frac{2 π}{3} .

(4)

$0 ≦ s < α$ では(1)の2実根の差が $g (s)$ である。 $r = e^{s}$ と判別式を用いて

g (s) = \frac{Δ}{r} = \frac{2 3}{r} 1 - (r - \frac{1}{2})^{2} .

また $d s = d r / r$ だから

\int_{0}^{α} g (s) d s = 23 \int_{1}^{3/2} \frac{1 - ( r - \frac{1}{2} ) ^{2}}{r ^{2}} d r .

$r - \frac{1}{2} = cos θ$ とおくと、 $r = 1, 3/2$ はそれぞれ $θ = π /3, 0$ に対応する。よって

\int_{0}^{α} g (s) d s = 23 \int_{0}^{π /3} \frac{sin ^{2} θ}{( cos θ + \frac{1}{2} ) ^{2}} d θ . (2)

ここで

\frac{sin ^{2} θ}{( cos θ + \frac{1}{2} ) ^{2}} = \frac{3}{4 ( cos θ + \frac{1}{2} ) ^{2}} + \frac{1}{cos θ + \frac{1}{2}} - 1. (3)

半角置換 $u = tan (θ /2)$ により

J_{1} := \int_{0}^{π /3} \frac{d θ}{cos θ + \frac{1}{2}} = \frac{2 lo g 2}{3},

J_{2} := \int_{0}^{π /3} \frac{d θ}{( cos θ + \frac{1}{2} ) ^{2}} = \frac{2}{3} - \frac{4 lo g 2}{3 3} .

(2),(3)へ代入すると

\int_{0}^{α} g (s) d s = 23 (\frac{3}{4} J_{2} + J_{1} - \frac{π}{3}) = 3 + 2 lo g 2 - \frac{2 π}{3} .

広島大学 2023年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2（2解の幅を判別式で表して直接積分する方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（2解の幅を判別式で表して直接積分する方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2023年度
理系数学第5問