広島大学 2024年度 前期文系数学 第2問

(1) $$f(0)={\int }_a^b{x}^{2}dx=\frac{b^3-a^3}{3}=\frac{(b-a)(a^2+ab+b^2)}{3}$$である。

(2) $$f(1)={\int }_a^b(x-a)(x-b)dx=-\frac{(b-a{)}^3}{6}$$である。したがって$$14f(1)+f(0)=0$$は$$-\frac{7(b-a{)}^3}{3}+\frac{(b-a)(a^2+ab+b^2)}{3}=0$$と同値である。$b>a$より$b-a>0$なので$$a^2+ab+b^2=7(b-a{)}^2$$である。$$r=\frac{b}{a}$$とおくと$$2r^2-5r+2=0$$となる。$r>1$より$$\frac{b}{a}=2$$である。

(3)
(2)より $b=2a$ である。一般に$$f(t)-f(0)=-\frac{(a+b)(b^2-a^2)}{2}t+ab(b-a)t^2$$であるから、$b=2a$を代入して$$f(t)-f(0)=a^3(2t^2-\frac{9}{2}t)$$である。この二次関数の最小値は$$-\frac{81}{32}{a}^3$$である。これが$-6$に等しいので$$a^3=\frac{64}{27}$$となり、$$a=\frac{4}{3}$$である。

$d=b-a>0$とおき、$x=a+du$で積分区間を$0\leqq u\leqq 1$へ標準化する。端点からの距離の積を使って$f(1)$を即座に出し、(3)では$b=2a$を最初から代入して無次元化した積分を計算する。

$d=b-a>0$とおき$$x=a+du(0\leqq u\leqq 1)$$と置換する。

(1)
$t=0$では直接$$f(0)={\int }_a^b{x}^{2}dx=\frac{b^3-a^3}{3}=\frac{(b-a)(a^2+ab+b^2)}{3}\mathrm{.}$$(2)
$t=1$のとき$$x-a=du,x-b=d(u-1),dx=ddu$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(1)}& {\displaystyle =d^3{\int }_0^{1}u(u-1)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{d^3}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$条件$14f(1)+f(0)=0$から$$-\frac{7d^3}{3}+\frac{d(a^2+ab+b^2)}{3}=0.$$$d>0$で割り、$r=b\mathrm{/}a>1$とおくと$$1+r+r^2=7(r-1{)}^2\mathrm{.}$$すなわち$$2r^2-5r+2=(2r-1)(r-2)=0.$$$r>1$より$$\frac{b}{a}=2\mathrm{.}$$(3)
$b=2a$なので、$x=au$（$1\leqq u\leqq 2$）と置くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(t)}& {\displaystyle =a^3{\int }_1^2(u-t)(u-2t)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^3{\int }_1^2\{u^2-3tu+2t^2\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^3(\frac{7}{3}-\frac{9}{2}t+2t^2)\mathrm{.}}\end{array}$$$f(0)=7a^3\mathrm{/}3$なので$$y=f(t)-f(0)=a^3(2t^2-\frac{9}{2}t)\mathrm{.}$$平方完成すると$$y=2a^3{(t-\frac{9}{8})}^2-\frac{81}{32}{a}^3\mathrm{.}$$最小値が$-6$であるから$$-\frac{81}{32}{a}^3=-6,a^3=\frac{64}{27}\mathrm{.}$$$a>0$より$$a=\frac{4}{3}\mathrm{.}$$このとき頂点は$t=9\mathrm{/}8$で、実際に最小値をとる。