広島大学 2024年度文系数学第2問解答・解説

問題

実数 $t$ および $0 < a < b$ を満たす実数 $a, b$ に対し、

f (t) = \int_{a}^{b} (x - a t) (x - b t) d x

とおく。次の問いに答えよ。

(1) $f (0)$ を $a$ と $b$ を用いて表せ。

(2) $14 f (1) + f (0) = 0$ が成り立つとする。このとき、 $\frac{b}{a}$ の値を求めよ。

(3) $14 f (1) + f (0) = 0$ が成り立つとする。 $t$ の関数 $y = f (t) - f (0)$ の最小値が $- 6$ となるとき、 $a$ の値を求めよ。

出典：広島大学 2024年度前期文系第2問

方針

解法1（標準解法）

積分を展開して $f (0), f (1)$ を求め、条件式を $(b - a)$ で整理する。比 $r = b / a$ に直して $r > 1$ の根を選び、 $b = 2 a$ のもとで $t$ の二次関数を平方完成する。

解法2（区間の標準化）

$d = b - a > 0$ とおき、 $x = a + d u$ で積分区間を $0 ≦ u ≦ 1$ へ標準化する。端点からの距離の積を使って $f (1)$ を即座に出し、(3)では $b = 2 a$ を最初から代入して無次元化した積分を計算する。

解答

解法1（標準解法）

(1)

f (0) = \int_{a}^{b} x^{2} d x = \frac{b ^{3} - a ^{3}}{3} = \frac{( b - a ) ( a ^{2} + ab + b ^{2} )}{3}

である。

(2)

f (1) = \int_{a}^{b} (x - a) (x - b) d x = - \frac{( b - a ) ^{3}}{6}

である。したがって

14 f (1) + f (0) = 0

は

- \frac{7 ( b - a ) ^{3}}{3} + \frac{( b - a ) ( a ^{2} + ab + b ^{2} )}{3} = 0

と同値である。 $b > a$ より $b - a > 0$ なので

a^{2} + ab + b^{2} = 7 (b - a)^{2}

である。 $r = \frac{b}{a}$ とおくと

2 r^{2} - 5 r + 2 = 0

となる。 $r > 1$ より

\frac{b}{a} = 2

である。

(3)

(2)より $b = 2 a$ である。一般に

f (t) - f (0) = - \frac{( a + b ) ( b ^{2} - a ^{2} )}{2} t + ab (b - a) t^{2}

であるから、 $b = 2 a$ を代入して

f (t) - f (0) = a^{3} (2 t^{2} - \frac{9}{2} t)

である。この二次関数の最小値は

- \frac{81}{32} a^{3}

である。これが $- 6$ に等しいので

a^{3} = \frac{64}{27}

となり、

a = \frac{4}{3}

である。

解法2（区間の標準化）

$d = b - a > 0$ とおき

x = a + d u (0 ≦ u ≦ 1)

と置換する。

(1)

$t = 0$ では直接

f (0) = \int_{a}^{b} x^{2} d x = \frac{b ^{3} - a ^{3}}{3} = \frac{( b - a ) ( a ^{2} + ab + b ^{2} )}{3} .

(2)

$t = 1$ のとき

x - a = d u, x - b = d (u - 1), d x = d d u

だから

f (1) = d^{3} \int_{0}^{1} u (u - 1) d u = - \frac{d ^{3}}{6} .

条件 $14 f (1) + f (0) = 0$ から

- \frac{7 d ^{3}}{3} + \frac{d ( a ^{2} + ab + b ^{2} )}{3} = 0.

$d > 0$ で割り、 $r = b / a > 1$ とおくと

1 + r + r^{2} = 7 (r - 1)^{2} .

すなわち

2 r^{2} - 5 r + 2 = (2 r - 1) (r - 2) = 0.

$r > 1$ より

\frac{b}{a} = 2 .

(3)

$b = 2 a$ なので、 $x = a u$ （ $1 ≦ u ≦ 2$ ）と置くと

f (t) = a^{3} \int_{1}^{2} (u - t) (u - 2 t) d u = a^{3} \int_{1}^{2} {u^{2} - 3 t u + 2 t^{2}} d u = a^{3} (\frac{7}{3} - \frac{9}{2} t + 2 t^{2}) .

$f (0) = 7 a^{3} /3$ なので

y = f (t) - f (0) = a^{3} (2 t^{2} - \frac{9}{2} t) .

平方完成すると

y = 2 a^{3} (t - \frac{9}{8})^{2} - \frac{81}{32} a^{3} .

最小値が $- 6$ であるから

- \frac{81}{32} a^{3} = - 6, a^{3} = \frac{64}{27} .

$a > 0$ より

a = \frac{4}{3} .

このとき頂点は $t = 9/8$ で、実際に最小値をとる。

広島大学 2024年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（区間の標準化）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

解法2（区間の標準化）

(1)

(2)

(3)

広島大学 2024年度
文系数学第2問