広島大学 2024年度文系数学第4問解答・解説

問題

$a$ と $r$ を正の実数とする。座標平面上の放物線 $y = x^{2}$ と、中心 $(0, a)$ 、半径 $r$ の円 $C$ を考える。次の問いに答えよ。

(1) $a = r$ とする。このとき、放物線 $y = x^{2}$ と円 $C$ との共有点が一つのみになるような $r$ の値の範囲を求めよ。

(2) 円 $C$ が不等式 $y > 0$ の表す領域に含まれるための必要十分条件を $a$ と $r$ を用いて表せ。

(3) $a$ と $r$ は(2)で求めた条件を満たすとする。このとき、放物線 $y = x^{2}$ と円 $C$ との共有点がちょうど二つになるような $(r, a)$ の範囲を $r a$ 平面に図示せよ。

(4) 正の実数 $s$ に対し、中心 $(0, a + r + s)$ 、半径 $s$ の円を $C^{'}$ とする。円 $C$ と円 $C^{'}$ は次の条件(i)と(ii)を満たすとする。

(i) 円 $C$ は不等式 $y > 0$ の表す領域に含まれ、さらに放物線 $y = x^{2}$ と円 $C$ との共有点はちょうど二つである。

(ii) 放物線 $y = x^{2}$ と円 $C^{'}$ との共有点はちょうど二つである。

このとき、 $s$ を $r$ を用いて表せ。

出典：広島大学 2024年度前期文系第4問

方針

解法1（標準解法）

$u = x^{2} ≧ 0$ へ置換し、共有点数を $u$ の二次方程式の非負解の個数へ翻訳する。円が上半平面に含まれる条件のもとでは、ちょうど2共有点は正の重解に対応する。

解法2（接線と半径の直交）

ちょうど2つの共有点は左右対称な2点での接触であることを用いる。接点 $(t, t^{2})$ における放物線の接線方向 $(1, 2 t)$ と円の半径方向 $(t, t^{2} - a)$ の直交条件から $a, r$ の関係を直接導く。

解答

解法1（標準解法）

(1)

放物線上の点を $(x, x^{2})$ とすると、円との共有点は

x^{2} + (x^{2} - r)^{2} = r^{2}

を満たす。 $u = x^{2}$ とおくと

u (u + 1 - 2 r) = 0

である。 $u = 0$ は点 $(0, 0)$ を与える。もう一つの解 $u = 2 r - 1$ が正なら共有点はさらに $2$ 個増える。したがって共有点が一つのみである条件は

2 r - 1 ≦ 0

であり、

0 < r ≦ \frac{1}{2}

である。

(2)

円 $C$ の最下点の $y$ 座標は $a - r$ である。円全体が $y > 0$ の表す領域に含まれるための必要十分条件は

a - r > 0

すなわち

a > r

である。

(3)

放物線と円 $C$ の共有点は

u^{2} + (1 - 2 a) u + a^{2} - r^{2} = 0 (u = x^{2} ≧ 0)

で判定できる。(2)より $a > r$ なので、定数項 $a^{2} - r^{2}$ は正であり、 $u = 0$ は解でない。共有点がちょうど二つであるためには、この二次方程式が正の重解をもてばよい。

判別式が $0$ である条件は

(1 - 2 a)^{2} - 4 (a^{2} - r^{2}) = 0

すなわち

a = r^{2} + \frac{1}{4}

である。このとき重解は

u = a - \frac{1}{2} = r^{2} - \frac{1}{4}

であるから、正であるために $r > \frac{1}{2}$ が必要である。逆に $r > \frac{1}{2}$ 、 $a = r^{2} + \frac{1}{4}$ なら $a - r = (r - \frac{1}{2})^{2} > 0$ であり条件を満たす。

したがって図示すべき範囲は

a = r^{2} + \frac{1}{4}, r > \frac{1}{2}

で表される放物線上の部分である。

(4)

(i)より

a = r^{2} + \frac{1}{4}, r > \frac{1}{2}

である。円 $C^{'}$ の中心の $y$ 座標を $a^{'} = a + r + s$ とおく。円 $C^{'}$ が放物線とちょうど二つの共有点をもつためには、(3)と同じ判定により

a^{'} = s^{2} + \frac{1}{4}

である。したがって

a + r + s = s^{2} + \frac{1}{4}

である。ここに $a = r^{2} + \frac{1}{4}$ を代入すると

r^{2} + r + s = s^{2}

となり、

(s - r) (s + r) = s + r

である。 $s + r > 0$ より

s = r + 1

である。

解法2（接線と半径の直交）

(1)

$a = r$ のとき円は原点を通る。放物線上の点 $(x, x^{2})$ が円上にもある条件は

x^{2} + (x^{2} - r)^{2} = r^{2},

すなわち

x^{2} (x^{2} + 1 - 2 r) = 0.

$x = 0$ 以外の共有点が生じない条件は $2 r - 1 ≦ 0$ である。 $r > 0$ と合わせて

0 < r ≦ \frac{1}{2} .

(2)

円 $C$ の最下点の $y$ 座標は $a - r$ である。円周も内部もすべて $y > 0$ に含まれるための必要十分条件は

a > r .

(3)

条件 $a > r$ のもとでは円は $x$ 軸より上にあり、共有点は $x$ 座標が正負で対になって現れる。共有点がちょうど2つなら、右側の共有点 $(t, t^{2})$ （ $t > 0$ ）で円と放物線は接する。

放物線の接線方向ベクトルは

(1, 2 t),

円の中心 $(0, a)$ から接点へ向かう半径ベクトルは

(t, t^{2} - a)

である。接線と半径は直交するから

(1, 2 t) \cdot (t, t^{2} - a) = 0.

$t > 0$ より

1 + 2 (t^{2} - a) = 0, a = t^{2} + \frac{1}{2} . (1)

また半径について

r^{2} = t^{2} + (t^{2} - a)^{2} = t^{2} + \frac{1}{4} .

したがって

a = r^{2} + \frac{1}{4}, t^{2} = r^{2} - \frac{1}{4} > 0.

よって必要条件は

r > \frac{1}{2}, a = r^{2} + \frac{1}{4} . (2)

逆に(2)なら $t = r^{2} - 1/4 > 0$ とおけ、 $(\pm t, t^{2})$ で接する。また

a - r = (r - \frac{1}{2})^{2} > 0

で(2)の上半平面条件も満たす。したがって $r a$ 平面では

a = r^{2} + \frac{1}{4} (r > \frac{1}{2})

で表される曲線部分である。端点 $(1/2, 1/2)$ は含まない。

(4)

円 $C$ には(3)を適用できるので

a = r^{2} + \frac{1}{4} . (3)

円 $C^{'}$ の中心の高さを $a^{'} = a + r + s$ とする。条件(ii)の2共有点も左右対称な接点であり、同じ接線・半径の議論から

a^{'} = s^{2} + \frac{1}{4} . (4)

(3),(4)より

r^{2} + \frac{1}{4} + r + s = s^{2} + \frac{1}{4},

すなわち

(s - r) (s + r) = s + r .

$s + r > 0$ で割って

s = r + 1 .

この値は $s > 1/2$ も自動的に満たすため、 $C^{'}$ の2つの接点も実在する。

広島大学 2024年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（接線と半径の直交）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（接線と半径の直交）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2024年度
文系数学第4問