広島大学 2024年度 前期文系数学 第4問

(1)
放物線上の点を$(x,x^2)$とすると、円との共有点は$$x^2+(x^2-r{)}^2=r^2$$を満たす。$u=x^2$とおくと$$u(u+1-2r)=0$$である。$u=0$は点$(0,0)$を与える。もう一つの解 $u=2r-1$ が正なら共有点はさらに$2$個増える。したがって共有点が一つのみである条件は$$2r-1\leqq 0$$であり、$$0<r\leqq \frac{1}{2}$$である。

(2)
円$C$の最下点の$y$座標は $a-r$ である。円全体が $y>0$ の表す領域に含まれるための必要十分条件は$$a-r>0$$すなわち$$a>r$$である。

(3)
放物線と円$C$の共有点は$$u^2+(1-2a)u+a^2-r^2=0(u=x^2\geqq 0)$$で判定できる。(2)より $a>r$ なので、定数項 $a^2-r^2$ は正であり、$u=0$は解でない。共有点がちょうど二つであるためには、この二次方程式が正の重解をもてばよい。

判別式が$0$である条件は$$(1-2a{)}^2-4(a^2-r^2)=0$$すなわち$$a=r^2+\frac{1}{4}$$である。このとき重解は$$u=a-\frac{1}{2}=r^2-\frac{1}{4}$$であるから、正であるために $r>\frac{1}{2}$ が必要である。逆に $r>\frac{1}{2}$、$a=r^2+\frac{1}{4}$ なら $a-r=(r-\frac{1}{2}{)}^2>0$ であり条件を満たす。

したがって図示すべき範囲は$$a=r^2+\frac{1}{4},r>\frac{1}{2}$$で表される放物線上の部分である。

(4)
(i)より$$a=r^2+\frac{1}{4},r>\frac{1}{2}$$である。円$C^{\mathrm{\prime }}$の中心の$y$座標を $a^{\mathrm{\prime }}=a+r+s$ とおく。円$C^{\mathrm{\prime }}$が放物線とちょうど二つの共有点をもつためには、(3)と同じ判定により$$a^{\mathrm{\prime }}=s^2+\frac{1}{4}$$である。したがって$$a+r+s=s^2+\frac{1}{4}$$である。ここに $a=r^2+\frac{1}{4}$ を代入すると$$r^2+r+s=s^2$$となり、$$(s-r)(s+r)=s+r$$である。$s+r>0$より$$s=r+1$$である。

ちょうど2つの共有点は左右対称な2点での接触であることを用いる。接点$(t,t^2)$における放物線の接線方向$(1,2t)$と円の半径方向$(t,t^2-a)$の直交条件から$a,r$の関係を直接導く。

(1)
$a=r$のとき円は原点を通る。放物線上の点$(x,x^2)$が円上にもある条件は$$x^2+(x^2-r{)}^2=r^2,$$すなわち$$x^2(x^2+1-2r)=0.$$$x=0$以外の共有点が生じない条件は$2r-1\leqq 0$である。$r>0$と合わせて$$0<r\leqq \frac{1}{2}\mathrm{.}$$(2)
円$C$の最下点の$y$座標は$a-r$である。円周も内部もすべて$y>0$に含まれるための必要十分条件は$$a>r\mathrm{.}$$(3)
条件$a>r$のもとでは円は$x$軸より上にあり、共有点は$x$座標が正負で対になって現れる。共有点がちょうど2つなら、右側の共有点$(t,t^2)$（$t>0$）で円と放物線は接する。

放物線の接線方向ベクトルは$$(1,2t),$$円の中心$(0,a)$から接点へ向かう半径ベクトルは$$(t,t^2-a)$$である。接線と半径は直交するから$$(1,2t)\cdot (t,t^2-a)=0.$$$t>0$より$$\begin{array}{cccc}& 1+2(t^2-a)=0,a=t^2+\frac{1}{2}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$また半径について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r^2}& {\displaystyle =t^2+(t^2-a{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t^2+\frac{1}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$a=r^2+\frac{1}{4},t^2=r^2-\frac{1}{4}>0.$$よって必要条件は$$\begin{array}{cccc}& r>\frac{1}{2},a=r^2+\frac{1}{4}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$逆に(2)なら$t=\sqrt{r^2-1\mathrm{/}4}>0$とおけ、$(\pm t,t^2)$で接する。また$$a-r={(r-\frac{1}{2})}^2>0$$で(2)の上半平面条件も満たす。したがって$ra$平面では$$a=r^2+\frac{1}{4}(r>\frac{1}{2})$$で表される曲線部分である。端点$(1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2)$は含まない。

(4)
円$C$には(3)を適用できるので$$\begin{array}{cccc}& a=r^2+\frac{1}{4}\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$円$C^{\mathrm{\prime }}$の中心の高さを$a^{\mathrm{\prime }}=a+r+s$とする。条件(ii)の2共有点も左右対称な接点であり、同じ接線・半径の議論から$$\begin{array}{cccc}& a^{\mathrm{\prime }}=s^2+\frac{1}{4}\mathrm{.}& & \text{(4)}\end{array}$$(3),(4)より$$r^2+\frac{1}{4}+r+s=s^2+\frac{1}{4},$$すなわち$$(s-r)(s+r)=s+r\mathrm{.}$$$s+r>0$で割って$$s=r+1\mathrm{.}$$この値は$s>1\mathrm{/}2$も自動的に満たすため、$C^{\mathrm{\prime }}$の2つの接点も実在する。