一橋大学 2025年度文系数学第1問解答・解説

問題

正の整数 $n$ に対し， $n$ の正の約数の個数を $d (n)$ とする。たとえば， $6$ の正の約数は $1, 2, 3, 6$ の4個なので， $d (6) = 4$ である。また，

f (n) = \frac{d ( n )}{n}

とする。

(1) $f (2025)$ を求めよ。

(2) 素数 $p$ と正の整数 $k$ の組で $f (p^{k}) ≦ f (p^{k + 1})$ を満たすものを求めよ。

(3) $f (n)$ の最大値と，そのときの $n$ を求めよ。

出典：一橋大学 2025年度前期文系第1問

約数個数公式を用いる。 $f (n)$ は素因数ごとの因子 $(e + 1) / p^{e /2}$ の積に分解できるので，各素数についてどの指数が有利かを比較する。(2)で得た増減条件を使うと，最大に寄与するのは $2^{2}$ と $3^{1}$ だけだと分かる。

$2025 = 3^{4} \cdot 5^{2}$ であるから， $d (2025) = (4 + 1) (2 + 1) = 15$ である。また $2025 = 45$ なので，

f (2025) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}

である。

$d (p^{k}) = k + 1$ より，条件は

\frac{k + 1}{p ^{k /2}} ≦ \frac{k + 2}{p ^{(k + 1) /2}},

すなわち

p ≦ \frac{k + 2}{k + 1} = 1 + \frac{1}{k + 1}

である。 $k ≧ 1$ なので右辺は $3/2$ 以下であり， $p$ は $2$ に限られる。 $p = 2$ を代入して両辺を2乗すると

2 (k + 1)^{2} ≦ (k + 2)^{2} ⟺ k^{2} ≦ 2.

よって正の整数 $k$ は $1$ のみであり，求める組は

(p, k) = (2, 1)

である。

$n = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{s}^{e_{s}}$ と素因数分解すると，

f (n) = \frac{e _{1} + 1}{p _{1}^{e_{1} /2}} \cdot \frac{e _{2} + 1}{p _{2}^{e_{2} /2}} \dots \frac{e _{s} + 1}{p _{s}^{e_{s} /2}}

と，素数ごとの因子の積に分かれる。ここでは積の各因子を個別に最大化すればよい。

$p = 2$ では，指数 $0, 1, 2$ に対する因子は順に

1, 2, \frac{3}{2}

である。(2)より指数 $2$ から先では必ず減少するので，最大は指数 $2$ のときの $3/2$ である。

$p = 3$ では指数 $1$ の因子 $2/ 3$ が $1$ より大きい。一方，(2)より指数 $1$ から先では減少するので，最大は指数 $1$ のときである。

$p ≧ 5$ では，指数 $1$ の時点で $2/ p < 1$ であり，(2)よりその後も減少する。したがって，これらの素数は含めない方がよい。

以上より，最大値を与えるのは

n = 2^{2} \cdot 3 = 12

のみであり，最大値は

f (12) = \frac{6}{12} = 3

である。