一橋大学 2025年度 前期文系数学 第1問

(1)
$2025=3^4\cdot 5^2$ であるから，$d(2025)=(4+1)(2+1)=15$ である。また $\sqrt{2025}=45$ なので，$$f(2025)=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$$である。

(2)
$d(p^k)=k+1$ より，条件は$$\frac{k+1}{p^{k\mathrm{/}2}}\leqq \frac{k+2}{p^{(k+1)\mathrm{/}2}},$$すなわち$$\sqrt{p}\leqq \frac{k+2}{k+1}=1+\frac{1}{k+1}$$である。$k\geqq 1$ なので右辺は $3\mathrm{/}2$ 以下であり，$p$ は $2$ に限られる。$p=2$ を代入して両辺を2乗すると$$2(k+1{)}^2\leqq (k+2{)}^2⟺k^2\leqq 2.$$よって正の整数 $k$ は $1$ のみであり，求める組は$$(p,k)=(2,1)$$である。

(3)
$n=p_1^{e_1}\cdots p_s^{e_s}$ と素因数分解すると，$$f(n)=\frac{e_1+1}{p_1^{e_1\mathrm{/}2}}\cdot \frac{e_2+1}{p_2^{e_2\mathrm{/}2}}\cdots \frac{e_s+1}{p_s^{e_s\mathrm{/}2}}$$と，素数ごとの因子の積に分かれる。ここでは積の各因子を個別に最大化すればよい。

$p=2$ では，指数 $0,1,2$ に対する因子は順に$$1,\sqrt{2},\frac{3}{2}$$である。(2)より指数 $2$ から先では必ず減少するので，最大は指数 $2$ のときの $3\mathrm{/}2$ である。

$p=3$ では指数 $1$ の因子 $2\mathrm{/}\sqrt{3}$ が $1$ より大きい。一方，(2)より指数 $1$ から先では減少するので，最大は指数 $1$ のときである。

$p\geqq 5$ では，指数 $1$ の時点で $2\mathrm{/}\sqrt{p}<1$ であり，(2)よりその後も減少する。したがって，これらの素数は含めない方がよい。

以上より，最大値を与えるのは$$n=2^2\cdot 3=12$$のみであり，最大値は$$f(12)=\frac{6}{\sqrt{12}}=\sqrt{3}$$である。