一橋大学 2025年度 前期文系数学 第3問

与式を$$k=6{\int }_0^2\mathrm{\mid }{x}^2-a\mathrm{\mid }dx-a^2+2a$$と見て，右辺を $F(a)$ とおく。

$a<0$ では $\mathrm{\mid }{x}^2-a\mathrm{\mid }=x^2-a$ だから$$F(a)=16-10a-a^2=41-(a+5{)}^2$$である。この区間では最大値41をとり，$a=0$ に近づくと値は16に近づく。

$0\leqq a\leqq 4$ では $$x=\sqrt{a}$$ で絶対値が切り替わるので，$${\int }_0^2\mathrm{\mid }{x}^2-a\mathrm{\mid }dx=\frac{8}{3}-2a+\frac{4}{3}a\sqrt{a}$$である。したがって$$F(a)=16-10a+8a\sqrt{a}-a^2$$であり，$$F^{\mathrm{\prime }}(a)=-10+12\sqrt{a}-2a=-2(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}-5)$$である。よって $[0,1]$ で減少，$[1,4]$ で増加し，$$\begin{gathered} F(0)=16, \\ F(1)=13, \\ F(4)=24 \end{gathered}$$である。

$a>4$ では $\mathrm{\mid }{x}^2-a\mathrm{\mid }=a-x^2$ だから$$F(a)=-a^2+14a-16=33-(a-7{)}^2$$である。この区間では最大値33をとり，$a=4$ に近づくと値は24に近づく。

増減と接続点をまとめると，$y=F(a)$ の概形は次のようになる。

以上から交点数を数える。$13<k<16$ では，左区間で1個，中区間で2個，右区間で1個，合計4個である。$16\leqq k\leqq 24$ でも，端点の重複を含めて合計4個である。$24<k<33$ では，左区間で2個，中区間で0個，右区間で2個，合計4個である。一方，$k=13$ と $k=33$ では合計3個になる。

したがって求める範囲は$$13<k<33$$である。