一橋大学 2025年度 前期文系数学 第4問

$t=1\mathrm{/}5$ のときの方向ベクトルを$$\vec{u}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{5}\overrightarrow{OB}=(1,2,-2)$$とし，$t=3\mathrm{/}5$ のときの方向ベクトルを$$\vec{v}=\frac{2}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OB}=(3,0,4)$$とする。すると $D$ は$$a\vec{u}+b\vec{v}(a\geqq 0,b\geqq 0)$$で表される角領域である。

$\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=3$，$\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=5$，$\vec{u}\cdot \vec{v}=-5$ である。2本の境界直線のなす角を $\theta$ とすると，$$\sin \theta =\sqrt{1-{(-\frac{1}{3})}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$である。

平面内で見れば，中心は両境界から半径以上離れた角領域の内側にあり，最短の中心は両境界に接する。

円の中心を $X=a\vec{u}+b\vec{v}$ とする。境界直線 $O\vec{u}$ からの距離は，$b\vec{v}$ の $O\vec{u}$ に垂直な成分の長さだから$$b\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }\sin \theta =b\cdot 5\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{10\sqrt{2}}{3}b$$である。これが半径 $10\sqrt{2}$ 以上であるためには $b\geqq 3$ が必要である。同様に，境界直線 $O\vec{v}$ からの距離は$$a\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }\sin \theta =a\cdot 3\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}a$$であるから，$a\geqq 5$ が必要である。

したがって中心は $a\geqq 5,b\geqq 3$ の範囲で $\mathrm{\mid }a\vec{u}+b\vec{v}\mathrm{\mid }$ を最小にすればよい。$A=a-5\geqq 0$，$B=b-3\geqq 0$ とおくと，$$\mathrm{\mid }a\vec{u}+b\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=9a^2+25b^2-10ab=300+60A+100B+9A^2+25B^2-10AB$$である。ここで $A,B\geqq 0$ であり，$9A^2+25B^2\geqq 30AB$ だから，$9A^2+25B^2-10AB\geqq 20AB\geqq 0$ である。したがって，最小は $A=B=0$，すなわち $a=5,b=3$ のときである。

よって中心は$$5\vec{u}+3\vec{v}=5(1,2,-2)+3(3,0,4)=(14,10,2)$$である。

最短となる円は2本の境界半直線の両方に接する。中心 $X=a\vec{u}+b\vec{v}$ から両境界までの距離を等置し，さらにその共通距離を半径 $10\sqrt{2}$ とおく。

$\vec{u}=(1,2,-2)$，$\vec{v}=(3,0,4)$ とおくと，
$\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=3$，$\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=5$，$\cos \theta =-1\mathrm{/}3$ であるから$$\sin \theta =\frac{2\sqrt{2}}{3}$$である。

原点から最も近い半径 $10\sqrt{2}$ の円は，2本の境界半直線の両方に接する。実際，一方に接していなければ，中心を領域の内側へ保ったまま原点側へ少し動かせるからである。中心を$$X=a\vec{u}+b\vec{v}(a,b>0)$$とすると，$O\vec{u}$ までの距離は $5b\sin \theta$，$O\vec{v}$ までの距離は $3a\sin \theta$ である。したがって$$5b\sin \theta =3a\sin \theta =10\sqrt{2}\mathrm{.}$$$\sin \theta =2\sqrt{2}\mathrm{/}3$ を代入すると$$b=3,a=5.$$よって中心は$$X=5\vec{u}+3\vec{v}=(14,10,2)$$である。