問題
原点を とする座標空間内の2点 ， に対して
で定まる点 が存在する範囲を とする。 に含まれる半径 の円のうち，その中心と原点との距離が最小となるものを とする。円 の中心の座標を求めよ。
出典：一橋大学 2025年度 前期 文系 第4問
方針
標準解法（境界からの距離を最小化）
に対応する2本の境界方向ベクトルを求めると， はその2本の半直線で挟まれた平面内の角領域になる。中心を と表し，2本の境界直線からの距離が半径以上になる条件を の下限として書く。原点からの距離を最小にする点を求める。
別解（角の二等分線を用いる）
最短となる円は2本の境界半直線の両方に接する。中心 から両境界までの距離を等置し，さらにその共通距離を半径 とおく。
解答
標準解法（境界からの距離を最小化）
のときの方向ベクトルを
とし， のときの方向ベクトルを
とする。すると は
で表される角領域である。
，， である。2本の境界直線のなす角を とすると，
である。
平面内で見れば，中心は両境界から半径以上離れた角領域の内側にあり，最短の中心は両境界に接する。
円の中心を とする。境界直線 からの距離は， の に垂直な成分の長さだから
である。これが半径 以上であるためには が必要である。同様に，境界直線 からの距離は
であるから， が必要である。
したがって中心は の範囲で を最小にすればよい。， とおくと，
である。ここで であり， だから， である。したがって，最小は ，すなわち のときである。
よって中心は
である。
別解（角の二等分線を用いる）
， とおくと，，， であるから
である。
原点から最も近い半径 の円は，2本の境界半直線の両方に接する。実際，一方に接していなければ，中心を領域の内側へ保ったまま原点側へ少し動かせるからである。中心を
とすると， までの距離は ， までの距離は である。したがって
を代入すると
よって中心は
である。