一橋大学 2025年度 前期文系数学 第2問

(1)
$P=(2,t)$ とおく。2円が共有点を2つ持つための条件は，中心間距離 $OP$ が半径の差 $2$ より大きく，半径の和 $4$ より小さいことである。したがって$$2<\sqrt{4+t^2}<4$$であり，$$0<t^2<12$$となる。よって求める範囲は$$-2\sqrt{3}<t<0,0<t<2\sqrt{3}$$である。

(2)
$C_1:x^2+y^2=9$，$C_2:(x-2{)}^2+(y-t{)}^2=1$ である。2式を引くと，共通弦 $l$ は$$4x+2ty=t^2+12$$である。

点 $P=(2,t)$ をこの直線に関して対称移動した点を $Q=(X,Y)$ とする。直線 $4x+2ty-(t^2+12)=0$ に対する対称移動を用いると，$$X=\frac{16}{t^2+4},Y=\frac{8t}{t^2+4}$$となる。これより$$X^2+Y^2=\frac{256+64t^2}{(t^2+4{)}^2}=\frac{64}{t^2+4}=4X$$である。したがって$$(X-2{)}^2+Y^2=4$$を満たす。

また $0<t^2<12$ より $1<X<4$ である。逆に，円 $(X-2{)}^2+Y^2=4$ 上で $1<X<4$ を満たす点は，$t=2Y\mathrm{/}X$ により上の範囲の $t$ から得られる。よって軌跡は，円 $(x-2{)}^2+y^2=4$ のうち $1<x<4$ を満たす部分である。端点 $(4,0)$，$(1,\sqrt{3})$，$(1,-\sqrt{3})$ は含まない。

実際に端点の除外まで図示すると，次の太線部分である。

白丸の3点はいずれも軌跡に含まれない。