北海道大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

黒石を置く位置を $$1\leqq x_1<x_2<x_3\leqq n$$ とする。黒石どうしが隣り合わない条件は $$x_2\geqq x_1+2,x_3\geqq x_2+2$$ である。

そこで $$y_1=x_1,y_2=x_2-1,y_3=x_3-2$$ とおく。このとき $$1\leqq y_1<y_2<y_3\leqq n-2$$ である。逆に、$$1\leqq y_1<y_2<y_3\leqq n-2$$ を満たす3つの整数を選べば $$x_1=y_1,x_2=y_2+1,x_3=y_3+2$$ により、隣り合わない3つの黒石の位置がただ1通り定まる。

したがって置き方の数は、$1,2,\dots ,n-2$ から3つを選ぶ数に等しい。よって ${}_{n-2}{\mathrm{C}}_3$ 通りである。

3個の黒石を先に置き、間の2か所に白石を1個ずつ必須配置する。残る白石を両端を含む4つのすき間へ分配し、非負整数解を数える。

3個の黒石を$$\text{黒 白 黒 白 黒}$$の順に先に置く。これで黒石3個と必須の白石2個を使うので、残る白石は $n-5$ 個である。

追加の白石を、左端、2つの黒石間、2つの黒石間、右端という4つのすき間へ入れる個数を $u_1,u_2,u_3,u_4$ とすると$$u_1+u_2+u_3+u_4=n-5,u_i\geqq 0.$$この非負整数解の個数は$${}_{n-2}{\mathrm{C}}_3$$である。各解から石の並びが一意に決まり、逆も成り立つので、求める置き方は$${}_{n-2}{\mathrm{C}}_3$$通りである。