北海道大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
曲線 $C_n$ は $$y=\log {\displaystyle \frac{x}{n}}$$ であり、定義域は $x>0$ である。$C_n$ 上の点 $(u,\log {\displaystyle \frac{u}{n}})$ を接点とする。この点における接線の傾きは $${\displaystyle \frac{d}{dx}}\log {\displaystyle \frac{x}{n}}={\displaystyle \frac{1}{x}}$$ より ${\displaystyle \frac{1}{u}}$ である。したがって接線の方程式は $$y-\log {\displaystyle \frac{u}{n}}={\displaystyle \frac{1}{u}}(x-u)$$ である。

この接線が原点 $O(0,0)$ を通るので $$0-\log {\displaystyle \frac{u}{n}}={\displaystyle \frac{1}{u}}(0-u)=-1$$ である。したがって $$\log {\displaystyle \frac{u}{n}}=1$$ となり、$${\displaystyle \frac{u}{n}}=e,u=en$$ である。よって $A_n=(en,1)$ である。

したがってすべての $A_n$ は定直線 $y=1$ 上にある。また $A_{n+1}-A_n=(e,0)$ であるから、隣り合う点の間隔は $e$ である。

(2)
線分 $O{A}_n$ は原点と $(en,1)$ を結ぶので、方程式は $$y={\displaystyle \frac{x}{en}}$$ である。また $C_n$ が $x$ 軸と交わるのは $$\log {\displaystyle \frac{x}{n}}=0$$ より $x=n$ のときである。

求める部分は、$0\leqq x\leqq en$ における線分 $O{A}_n$ の下の三角形から、$n\leqq x\leqq en$ における曲線 $C_n$ の下の部分を除いた面積である。したがって面積 $S_n$ は$$S_n={\int }_0^{en}{\displaystyle \frac{x}{en}}dx-{\int }_n^{en}\log {\displaystyle \frac{x}{n}}dx$$である。

第1項は$${\int }_0^{en}{\displaystyle \frac{x}{en}}dx={\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2en}}\right]}_0^{en}={\displaystyle \frac{en}{2}}$$である。第2項は $x=nt$ とおくと$${\int }_n^{en}\log {\displaystyle \frac{x}{n}}dx=n{\int }_1^e\log tdt$$である。ここで$${\int }_1^e\log tdt={[t\log t-t]}_1^e=(e-e)-(0-1)=1$$である。したがって第2項は $n$ である。

よって $$S_n={\displaystyle \frac{en}{2}}-n=n({\displaystyle \frac{e}{2}}-1)$$ であり、求める面積は $n({\displaystyle \frac{e}{2}}-1)$ である。

曲線 $C_n$ と囲まれる領域が、$n=1$ の図形を横方向に $n$ 倍したものであることを使う。接点と間隔を求め、基準領域の面積だけ積分して一般の面積を得る。

(1)
$C_n$ 上の接点を $(u,\log (u\mathrm{/}n))$ とすると、接線の傾きは $1\mathrm{/}u$ である。接線が原点を通る条件は$$0-\log {\displaystyle \frac{u}{n}}={\displaystyle \frac{1}{u}}(0-u)=-1.$$よって $u=en$ で$$A_n=(en,1)\mathrm{.}$$したがって点は定直線 $y=1$ 上に並び、隣接間隔は $e$ である。

(2)
$x=nu$ と置くと $C_n$ は$$y=\log u$$となる。また接点、$x$ 軸との交点、原点はそれぞれ $n=1$ の場合を横方向に $n$ 倍した位置にある。したがって囲まれる面積も $n$ 倍である。

$n=1$ の基準図形の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle ={\int }_0^e{\displaystyle \frac{x}{e}}dx-{\int }_1^e\log xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e}{2}}-{[x\log x-x]}_1^e={\displaystyle \frac{e}{2}}-1.}\end{array}$$よって$$S_n=n({\displaystyle \frac{e}{2}}-1)\mathrm{.}$$