北海道大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

合同な三角形は区別しないので、3辺を小さい順に $a-d,a,a+d$ とおく。ただし $a,d$ は整数で、$d\geqq 0$ である。

三角形であるためには、最大辺 $a+d$ が他の2辺の和より小さければよい。したがって $(a-d)+a>a+d$ であり、整理して $a>2d$ を得る。また、3辺がすべて70より小さいことは、最大辺について $a+d\leqq 69$ と同値である。

まず $d=0$ の場合、3辺は $a,a,a$ であり、$1\leqq a\leqq 69$ だから $69$ 個である。

次に $d\geqq 1$ とする。条件 $a>2d$ と $a+d\leqq 69$ から $2d+1\leqq a\leqq 69-d$ である。固定した $d$ に対する $a$ の個数は $(69-d)-(2d+1)+1=69-3d$ である。これが正となるのは $1\leqq d\leqq 22$ のときである。

したがって求める個数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 69+\sum _{d=1}^{22}(69-3d)}& {\displaystyle =69+22\cdot 69-3\cdot {\displaystyle \frac{22\cdot 23}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =69+1518-759}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =828.}\end{array}$$よって $828$ である。

等差数列をなす3辺を小さい順に固定する

最大辺を $L$、公差を $d\geqq 0$ として3辺を $L-2d,L-d,L$ と表す。三角形条件は $L>3d$、辺長条件は $1\leqq L\leqq 69$ となる。各 $L$ について可能な $d$ を数え、3個ずつのまとまりで床関数の和を求める。

最大辺を $L$、等差数列の公差を $d\geqq 0$ とおくと、3辺は小さい順に$$L-2d,L-d,L$$と表される。最大辺が70より小さいから $1\leqq L\leqq 69$ である。

三角形条件は$$(L-2d)+(L-d)>L,$$すなわち $L>3d$ である。したがって固定した $L$ に対して$$0\leqq d\leqq \lfloor {\displaystyle \frac{L-1}{3}}\rfloor$$であり、可能な $d$ は$$\lfloor {\displaystyle \frac{L-1}{3}}\rfloor +1$$個である。

よって総数は$$\sum _{L=1}^{69}(\lfloor {\displaystyle \frac{L-1}{3}}\rfloor +1)=69+\sum _{k=0}^{68}\lfloor {\displaystyle \frac{k}{3}}\rfloor \mathrm{.}$$$0,1,\dots ,68$ は3個ずつ$$(0,1,2),(3,4,5),\dots ,(66,67,68)$$に分かれ、各組で床関数の値は同じである。したがって$$\sum _{k=0}^{68}\lfloor {\displaystyle \frac{k}{3}}\rfloor =3\sum _{j=0}^{22}j=3\cdot {\displaystyle \frac{22\cdot 23}{2}}=759.$$以上より求める個数は$$69+759=828$$である。