北海道大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

線分の内部の交点を考える。2本の線分が同じ $P_i$ を共有すれば、それらの共通点は $P_i$ だけであり、これは交点に数えない。同じ $Q_j$ を共有する場合も同様である。したがって、内部で3本が同時に交わるとすれば、それらは $P_0,P_1,P_2$ から出て、互いに異なる $Q_i,Q_j,Q_k$ に向かう3本である。

高さ $y=s$、$0<s<1$ における線分 $P_m{Q}_j$ の $x$ 座標を考える。$P_m=(p_m,0)$ と書けば、その $x$ 座標は $(1-s)p_m+sj$ である。ここで $$p_0=0,p_1=c,p_2=2$$ である。

もし $P_0{Q}_i$、$P_1{Q}_j$、$P_2{Q}_k$ が同じ点で交わるなら $si=(1-s)c+sj=2(1-s)+sk$ である。まず $si=2(1-s)+sk$ から $s(i-k+2)=2$ となるので、$s$ は有理数である。次に $si=(1-s)c+sj$ から $$c={\displaystyle \frac{s(i-j)}{1-s}}$$ を得る。右辺は有理数であるから $c$ が有理数になってしまう。これは $c$ が無理数であるという仮定に反する。したがって3本が同時に交わることはない。

(2)

内部で交わる2本の線分は、下側の点の順序と上側の点の順序が逆になっているとき、かつそのときに限られる。下側の点の組は ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通りであり、上側の点の組は $Q_0,Q_1,\dots ,Q_n$ から2点を選ぶので ${}_{n+1}{\mathrm{C}}_2$ 通りである。下側の2点と上側の2点を決めると、交わる線分の組はちょうど1組決まる。

(1) より三重点がないので、異なる線分の組が同じ交点を作ることもない。したがって $$a_n=3{}_{n+1}{\mathrm{C}}_2$$ である。よって $n\geqq 2$ に対して $$a_n-a_{n-1}=3{}_{n+1}{\mathrm{C}}_2-3{}_n{\mathrm{C}}_2=3n$$ である。

(3)

(2) で得た式からただちに $$a_n=3{}_{n+1}{\mathrm{C}}_2={\displaystyle \frac{3n(n+1)}{2}}$$ である。

(1) の三重点排除を踏まえ、新しい上端点 $Q_n$ を加えたときだけ生じる交点を数える。各既存点と下端2点の選択が新しい交点へ一対一に対応し、階差 $3n$ から一般項を得る。

(1)

高さ $0<s<1$ における線分 $P_m{Q}_j$ の $x$ 座標は$$(1-s)p_m+sj$$である。3本が同一点で交わるなら、それらは異なる $P_0,P_1,P_2$ と異なる $Q_i,Q_j,Q_k$ を結ぶので$$si=(1-s)c+sj=2(1-s)+sk\mathrm{.}$$右側2本のうち $c$ を含まない等式から $s$ は有理数となり、次に$$c={\displaystyle \frac{s(i-j)}{1-s}}$$も有理数となる。仮定に反するので三重点はない。

(2)

$Q_n$ を加える。新しい交点は、$Q_n$ と結ぶ線分、新しい点以外の $Q_j$ と結ぶ線分、異なる2個の下端点を選ぶことで一意に定まる。選び方は$$n{}_3{\mathrm{C}}_2=3n$$通りである。三重点がないので重複せず、$$a_n-a_{n-1}=3n\mathrm{.}$$(3)

$n=1$ では $a_1=3$。したがって階差を足して$$a_n=3+\sum _{m=2}^{n}3m={\displaystyle \frac{3n(n+1)}{2}}\mathrm{.}$$