熊本大学 2025年度 前期数学① 第2問

(問1)
$m=3,n=4,k=7$である。$7$秒後に初めて線分$AB$上に達するには、$7$秒後の点が$(3,4)$であり、最後の一歩で$x=3$にならなければならない。したがって最初の$6$歩のうち右向きの移動は$2$回であるから$$a_7={}_6{\mathrm{C}}_2=15$$である。

(問2)
$m\leqq k\leqq m+n$とする。$k$秒後に線分$AB$上へ初めて達する点は$(m,k-m)$である。最後の一歩は$(m-1,k-m)$から$(m,k-m)$への右向き移動であるから、その前の$k-1$歩には右向き移動が$m-1$回、上向き移動が$k-m$回含まれる。よって$$a_k={}_{k-1}{\mathrm{C}}_{m-1}$$である。

(問3)
原点から$(m,n)$へ行く動き方の総数は、全$m+n$歩のうち右向きの$m$歩を選ぶので$${}_{m+n}{\mathrm{C}}_m$$である。一方、このような経路は、線分$AB$に初めて達する時刻$k$が$m\leqq k\leqq m+n$のいずれかにただ一つ定まる。したがって経路全体をこの$k$で分類すると$$\sum _{k=m}^{m+n}{a}_k={}_{m+n}{\mathrm{C}}_m$$が成り立つ。

【経路の見取り図】

青い線分へ初めて入る一歩は必ず右向きである。したがって，最後の一歩を除いた $k-1$ 歩だけを並べればよい。

(問2)の $a_k={}_{k-1}{\mathrm{C}}_{m-1}$ を代入し，パスカルの公式から得られるホッケースティック型の和を帰納的に証明する。

(問3)
(問2)より$$\sum _{k=m}^{m+n}{a}_k=\sum _{k=m}^{m+n}{}_{k-1}{\mathrm{C}}_{m-1}\mathrm{.}$$ここで$$\sum _{k=m}^{m+r}{}_{k-1}{\mathrm{C}}_{m-1}={}_{m+r}{\mathrm{C}}_m$$を $r$ について示す。$r=0$ では両辺は1である。$r$ で成り立つとき，パスカルの公式より$${}_{m+r}{\mathrm{C}}_m+{}_{m+r}{\mathrm{C}}_{m-1}={}_{m+r+1}{\mathrm{C}}_m\mathrm{.}$$よって $r+1$ でも成り立つ。$r=n$ として$$\sum _{k=m}^{m+n}{a}_k={}_{m+n}{\mathrm{C}}_m$$を得る。