熊本大学 2025年度 前期数学① 第3問

(問1)
$H=(u,v,w)$とする。$OH=3$より$$u^2+v^2+w^2=9$$である。また$OH$は平面$\alpha$に垂直であるから、平面$\alpha$は$$ux+vy+wz=9$$と表せる。点$A(-1,3,1),B(1,5,0)$がこの平面上にあるので$$-u+3v+w=9,u+5v=9$$である。これより$u=9-5v,w=18-8v$であり、長さの条件に代入すると$$(9-5v{)}^2+v^2+(18-8v{)}^2=9$$すなわち$$5v^2-21v+22=0$$となる。整数条件より$v=2$であり、したがって$$H=(-1,2,2)$$である。

(問2)
平面$\alpha$の方程式は$$-x+2y+2z=9$$である。$x$軸上では$y=z=0$であるから、交点$C$は$$C=(-9,0,0)$$である。

(問3)$$\overrightarrow{AB}=(2,2,-1),\overrightarrow{AC}=(-8,-3,-1)$$である。$\mathrm{△}ABC$の面積を$T$とすると、$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$で作る平行四辺形の面積は$$\sqrt{(-5{)}^2+{10}^2+{10}^2}=15$$であるから$$T=\frac{15}{2}$$である。

(問4)
原点$O$から平面$\alpha$までの距離は$OH=3$である。したがって四面体$OABC$の体積は$$\frac{1}{3}\cdot \frac{15}{2}\cdot 3=\frac{15}{2}$$である。

$H=(x,y,z)$ とし，$\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{OH}$，$\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{OH}$，$OH=3$ を直接連立する。平面方程式を先に作らない検算用の解法である。

(問1)
$H=(x,y,z)$ とおく。$OH=3$ から$$\begin{array}{cccc}& x^2+y^2+z^2=9.& & \text{(1)}\end{array}$$また $$\overrightarrow{AB}=(2,2,-1)$$ かつ $AB\perp OH$ より$$\begin{array}{cccc}& 2x+2y-z=0.& & \text{(2)}\end{array}$$さらに $$\overrightarrow{AH}=(x+1,y-3,z-1)$$ と $OH$ は直交するので$$x^2+x+y^2-3y+z^2-z=0.$$(1)を用いると$$\begin{array}{cccc}& x-3y-z=-9.& & \text{(3)}\end{array}$$(2),(3)から $x=9-5y$，$z=18-8y$。これを (1) に代入すると$$(5y-11)(y-2)=0.$$座標は整数だから $y=2$，したがって$$H=(-1,2,2)\mathrm{.}$$以後は標準解法と同じく，平面 $-x+2y+2z=9$ から $C=(-9,0,0)$，底面積 $15\mathrm{/}2$，体積 $15\mathrm{/}2$ を得る。