熊本大学 2025年度 前期数学① 第1問

(問1)
共有点の$x$座標は$$x^2+2x+1=(2n+3)x$$すなわち$$x^2-(2n+1)x+1=0$$の解である。この判別式は$$D=(2n+1{)}^2-4=4n^2+4n-3=(2n-1)(2n+3)$$である。$n$は正の整数であるから$D>0$であり、共有点は$2$個である。

(問2)
二つの解を$\alpha <\beta$とすると$$\alpha +\beta =2n+1,\alpha \beta =1$$である。また$C:y=(x+1{)}^2$は$x$軸以上にあるので$$S={\int }_{\alpha }^{\beta }(x+1{)}^{2}dx$$である。$$c=\frac{\alpha +\beta }{2}$$とおくと、区間$[\alpha ,\beta ]$での平均値より$$\frac{S}{\beta -\alpha }=(c+1{)}^2+\frac{(\beta -\alpha {)}^2}{12}$$となる。ここで$$c=\frac{2n+1}{2},(\beta -\alpha {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =4n^2+4n-3$$であるから$$\frac{S}{\beta -\alpha }=\frac{(2n+3{)}^2}{4}+\frac{4n^2+4n-3}{12}=\frac{2(n+1)(2n+3)}{3}$$である。

(問3)
(問2)より$$a_n=\frac{2(n+1)(2n+3)}{3}=\frac{4n^2+10n+6}{3}$$である。したがって$$\sum _{n=1}^m{a}_n=\frac{4}{3}\sum _{n=1}^m{n}^2+\frac{10}{3}\sum _{n=1}^{m}n+2m$$であるから$$\sum _{n=1}^m{a}_n=\frac{2m(m+1)(2m+1)}{9}+\frac{5m(m+1)}{3}+2m=\frac{m(4m^2+21m+35)}{9}$$となる。

公式解答例に近く，原始関数の差を $\beta -\alpha$ で因数分解する。残る式を $\alpha +\beta$，$\alpha \beta$ だけで書き，二次方程式の根と係数の関係を代入する。

(問2)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={[\frac{x^3}{3}+x^2+x]}_{\alpha }^{\beta }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\beta -\alpha )\{\frac{{\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2}{3}+\alpha +\beta +1\}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\frac{S}{\beta -\alpha }=\frac{(\alpha +\beta {)}^2-\alpha \beta }{3}+\alpha +\beta +1.$$ここへ $\alpha +\beta =2n+1$，$\alpha \beta =1$ を代入すると$$\frac{S}{\beta -\alpha }=\frac{(2n+1{)}^2-1}{3}+2n+2=\frac{2(n+1)(2n+3)}{3}\mathrm{.}$$この後は標準解法と同様に二次式を和して$$\sum _{n=1}^m{a}_n=\frac{m(4m^2+21m+35)}{9}$$を得る。