名古屋大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
交点の $x$ 座標は $\frac{1}{2}{x}^2=-(x-a{)}^2+b$ を満たす。整理すると $\frac{3}{2}{x}^2-2ax+a^2-b=0$ である。2つの放物線が異なる2点で交わるためには、この二次方程式が異なる2つの実数解を持てばよい。

判別式を $D$ とすると $$D=(-2a{)}^2-4\cdot \frac{3}{2}(a^2-b)=4a^2-6a^2+6b=6b-2a^2$$ である。したがって条件は $6b-2a^2>0$ すなわち $$b>\frac{a^2}{3}$$ である。

(2)
2つの放物線の上下差を計算する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C_2-C_1}& {\displaystyle =\{-(x-a{)}^2+b\}-\frac{1}{2}{x}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b-a^2+2ax-\frac{3}{2}{x}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b-\frac{a^2}{3}-\frac{3}{2}{(x-\frac{2a}{3})}^2\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$d=b-\frac{a^2}{3}$$ とおく。(1)より囲まれた図形ができるときは $d>0$ である。交点は $$d-\frac{3}{2}{(x-\frac{2a}{3})}^2=0$$ を満たすので、$$\mid x-\frac{2a}{3}\mid =\sqrt{\frac{2d}{3}}$$ である。 $$u=x-\frac{2a}{3}$$ とおき、$$h=\sqrt{\frac{2d}{3}}$$ とする。このとき $d=\frac{3}{2}{h}^2$ であり、面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-h}^h(d-\frac{3}{2}{u}^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-h}^h\frac{3}{2}(h^2-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{2}(2h^3-\frac{2h^3}{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2h^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\left(\frac{2d}{3}\right)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}}\end{array}$$ $S=16$ であるためには $$2{\left(\frac{2d}{3}\right)}^{3\mathrm{/}2}=16$$ すなわち $${\left(\frac{2d}{3}\right)}^{3\mathrm{/}2}=8$$ である。両辺は正なので $$\frac{2d}{3}=4$$ となり、$d=6$ である。したがって求める条件は $$b=\frac{a^2}{3}+6$$ である。

(3) $b\leqq a+3$ より $$d=b-\frac{a^2}{3}\leqq a+3-\frac{a^2}{3}$$ である。右辺を $$\varphi (a)=a+3-\frac{a^2}{3}$$ とおくと、平方完成により $$\varphi (a)=\frac{15}{4}-\frac{1}{3}{(a-\frac{3}{2})}^2$$ である。したがって $$d\leqq \frac{15}{4}$$ であり、等号は $$a=\frac{3}{2},b=a+3=\frac{9}{2}$$ のときに成り立つ。

面積は $$S=2{\left(\frac{2d}{3}\right)}^{3\mathrm{/}2}$$ であり、$d>0$ の範囲で $d$ について増加する。したがって $S$ の最大値は $$d=\frac{15}{4}$$ のときであり、$$S_{\max }=2{(\frac{2}{3}\cdot \frac{15}{4})}^{3\mathrm{/}2}=2{\left(\frac{5}{2}\right)}^{3\mathrm{/}2}=\frac{5\sqrt{10}}{2}$$である。

交点の $x$ 座標を $\alpha <\beta$ とし、上下差を $-\frac{3}{2}(x-\alpha )(x-\beta )$ と因数分解する。交点間隔 $L=\beta -\alpha$ だけで面積が $S=L^3\mathrm{/}4$ と表せる。さらに二次方程式の判別式 $D=6b-2a^2$ から $L=2\sqrt{D}\mathrm{/}3$ を得て、(2)と(3)を判別式の最大化として処理する。

(1) 交点の $x$ 座標が満たす方程式は$$\frac{3}{2}{x}^2-2ax+a^2-b=0$$である。その判別式は$$D=(-2a{)}^2-4\cdot \frac{3}{2}(a^2-b)=6b-2a^2\mathrm{.}$$異なる2点で交わるための必要十分条件は $D>0$ だから$$b>\frac{a^2}{3}$$である。

(2) 交点の $x$ 座標を $\alpha <\beta$ とし、$L=\beta -\alpha$ とおく。2曲線の上下差は、最高次係数と2つの零点から$$C_2-C_1=-\frac{3}{2}(x-\alpha )(x-\beta )=\frac{3}{2}(x-\alpha )(\beta -x)$$と書ける。したがって $t=x-\alpha$ とおけば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{3}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{2}{\int }_0^{L}t(L-t)dt=\frac{L^3}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$二次方程式の解の差は、最高次係数が $3\mathrm{/}2$ であることから$$L=\frac{\sqrt{D}}{3\mathrm{/}2}=\frac{2\sqrt{D}}{3}\mathrm{.}$$$S=16$ なら $L^3\mathrm{/}4=16$ より $L=4$ である。よって$$\frac{2\sqrt{D}}{3}=4,D=36.$$すなわち $6b-2a^2=36$ なので$$b=\frac{a^2}{3}+6$$である。

(3) 条件 $b\leqq a+3$ より$$D=6b-2a^2\leqq 6(a+3)-2a^2=\frac{45}{2}-2{(a-\frac{3}{2})}^2\leqq \frac{45}{2}\mathrm{.}$$等号は $a=3\mathrm{/}2$, $b=a+3=9\mathrm{/}2$ のときに成り立つ。このとき$$L_{\max }=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{45}{2}}=\sqrt{10}\mathrm{.}$$面積 $S=L^3\mathrm{/}4$ は $L>0$ で増加するから$$S_{\max }=\frac{(\sqrt{10}{)}^3}{4}=\frac{5\sqrt{10}}{2}$$である。