問題
を実数とし，放物線を，放物線をとする。
(1) とが異なる2点で交わるためのの条件を求めよ。
以下，とは異なる2点で交わるとし，とで囲まれた図形の面積をとする。
(2) となるためのの条件を求めよ。
(3) はを満たすとする。このときの最大値を求めよ。
方針
解法1
2つの放物線の上下差 を平方完成し、交点条件と面積を同じ量 で表す。 が異なる2交点の条件であり、囲まれた部分は中心 の左右対称な放物線弓形になる。面積は を交点間で積分して と求める。制約 のもとでは、 が の増加関数であることを使い、 の上限 を最大化する。
解法2
交点の 座標を とし、上下差を と因数分解する。交点間隔 だけで面積が と表せる。さらに二次方程式の判別式 から を得て、(2)と(3)を判別式の最大化として処理する。
解答
解法1
(1)
交点の 座標は を満たす。整理すると である。2つの放物線が異なる2点で交わるためには、この二次方程式が異なる2つの実数解を持てばよい。
判別式を とすると である。したがって条件は すなわち である。
(2)
2つの放物線の上下差を計算する。
ここで とおく。(1)より囲まれた図形ができるときは である。交点は を満たすので、 である。 とおき、 とする。このとき であり、面積 は
であるためには すなわち である。両辺は正なので となり、 である。したがって求める条件は である。
(3)
より である。右辺を とおくと、平方完成により である。したがって であり、等号は のときに成り立つ。
面積は であり、 の範囲で について増加する。したがって の最大値は のときであり、
である。
解法2
(1)
交点の 座標が満たす方程式は
である。その判別式は
異なる2点で交わるための必要十分条件は だから
である。
(2)
交点の 座標を とし、 とおく。2曲線の上下差は、最高次係数と2つの零点から
と書ける。したがって とおけば
二次方程式の解の差は、最高次係数が であることから
なら より である。よって
すなわち なので
である。
(3)
条件 より
等号は , のときに成り立つ。このとき
面積 は で増加するから
である。