名古屋大学 2022年度理系数学第3問解答・解説

問題

複素数平面上に，原点 $O$ を頂点の1つとする正六角形 $O A B C D E$ が与えられている。ただしその頂点は時計の針の進む方向と逆向きに $O, A, B, C, D, E$ とする。互いに異なる0でない複素数 $α, β, γ$ が，

0 ≦ ar g (\frac{β}{α}) ≦ π, 4 α^{2} - 2 α β + β^{2} = 0, 2 γ^{2} - (3 α + β + 2) γ + (α + 1) (α + β) = 0

を満たし， $α, β, γ$ のそれぞれが正六角形 $O A B C D E$ の頂点のいずれかであるとする。

(1) $\frac{β}{α}$ を求め， $α, β$ がそれぞれどの頂点か答えよ。

(2) 組 $(α, β, γ)$ をすべて求め，それぞれの組について正六角形 $O A B C D E$ を複素数平面上に図示せよ。

出典：名古屋大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

解法1

まず $α \neq = 0$ を用いて $z = β / α$ とおき、二次方程式から $z = 1 \pm 3 i$ を得る。偏角条件で $z = 1 + 3 i = 2 ω$ に決まり、正六角形の非零頂点の比を調べると $α = A, β = C$ が確定する。つぎに $ω = (1 + 3 i) /2$ とおき、 $B, C, D, E$ を $A = α$ の倍数で表す。 $γ$ は $B, D, E$ のいずれかなので、 $λ = γ / α$ を3候補に限って2本目の方程式に代入し、 $α$ を決定する。最後に各組の頂点座標を列挙して図示に対応させる。

解法2

(1)は $β / α$ を解いて、原点中心の回転・拡大として $A, C$ を特定する。(2)は2本目の方程式を $(2 γ - α - β) (γ - α - 1) = 0$ と因数分解する。前者は対角線 $A C$ の中点で頂点にならないため $γ = α + 1$ 。あとは $γ = B, D, E$ の各回転倍率と比較して3組を得る。

解答

解法1

(1)

$α \neq = 0$ なので $z = \frac{β}{α}$ とおく。条件 $4 α^{2} - 2 α β + β^{2} = 0$ を $α^{2}$ で割ると $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ である。したがって $z = 1 \pm 3 i$ である。

ここで $ar g (1 + 3 i) = \frac{π}{3}, ar g (1 - 3 i) = - \frac{π}{3}$ であり、条件 $0 ≦ ar g (\frac{β}{α}) ≦ π$ より $\frac{β}{α} = 1 + 3 i$ である。

正六角形の辺 $O A$ を表す複素数を $u$ とし、 $ω = \frac{1 + 3 i}{2}$ とおく。頂点は反時計回りに

O = 0, A = u, B = (1 + ω) u, C = 2 ω u, D = (2 ω - 1) u, E = (ω - 1) u

と表せる。非零頂点どうしの比が $1 + 3 i = 2 ω$ になるのは $A$ から $C$ への比だけである。したがって $α = A, β = C$ である。

(2)

(1)より $β = 2 ω α$ である。また $α, β, γ$ は互いに異なるので、 $γ$ は $B, D, E$ のいずれかである。 $λ = γ / α$ とおくと、候補は $λ = 1 + ω, 2 ω - 1, ω - 1$ である。2つ目の方程式 $2 γ^{2} - (3 α + β + 2) γ + (α + 1) (α + β) = 0$ に $β = 2 ω α$ 、 $γ = λ α$ を代入し、 $α \neq = 0$ で割ると

{2 λ^{2} - (3 + 2 ω) λ + (1 + 2 ω)} α + (1 + 2 ω - 2 λ) = 0

である。したがって各候補について $α$ は次のように決まる。

γ の頂点 B D E λ 1 + ω 2 ω - 1 ω - 1 α \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i - \frac{1}{2} - \frac{3}{6} i γ \frac{3}{2} - \frac{3}{2} i \frac{3}{4} - \frac{3}{4} i \frac{1}{2} - \frac{3}{6} i

さらに $β = 2 ω α$ より、得られる組は

(α, β, γ) = (\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i, 2, \frac{3}{2} - \frac{3}{2} i),

(α, β, γ) = (- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i, \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i, \frac{3}{4} - \frac{3}{4} i),

(α, β, γ) = (- \frac{1}{2} - \frac{3}{6} i, - \frac{2 3}{3} i, \frac{1}{2} - \frac{3}{6} i)

である。

それぞれの組について、正六角形の頂点は次のように図示できる。第1の組では

A = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i, B = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} i, C = 2, D = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i, E = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i .

第2の組では

A = - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i, B = - \frac{3}{2} i, C = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i, D = \frac{3}{4} - \frac{3}{4} i, E = \frac{1}{2} .

第3の組では

A = - \frac{1}{2} - \frac{3}{6} i, B = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i, C = - \frac{2 3}{3} i, D = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i, E = \frac{1}{2} - \frac{3}{6} i .

いずれも $O = 0$ とし、上に列挙した $A, B, C, D, E$ を順に結べば、反時計回りの正六角形 $O A B C D E$ になる。

解法2

(1)

$α \neq = 0$ なので、最初の方程式を $α^{2}$ で割ると

(\frac{β}{α})^{2} - 2 \frac{β}{α} + 4 = 0.

よって

\frac{β}{α} = 1 \pm 3 i .

偏角条件から負号は除かれ、

\frac{β}{α} = 1 + 3 i = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})

である。つまり $α$ の点を原点のまわりに反時計回りに $π /3$ 回転し、距離を2倍すると $β$ の点になる。正六角形 $O A B C D E$ の頂点のうち、この関係になるのは

α = A, β = C

だけである。

(2)

2本目の方程式は

(2 γ - α - β) (γ - α - 1) = 0

と因数分解できる。 $γ = (α + β) /2$ は線分 $A C$ の中点であり、正六角形の頂点ではない。したがって

γ = α + 1

である。

$ζ = cos (π /3) + i sin (π /3) = (1 + 3 i) /2$ とおく。 $A = α$ を基準にすると

B = (1 + ζ) α, C = 2 ζ α, D = (2 ζ - 1) α, E = (ζ - 1) α .

$γ$ は $α, β$ と異なる非零頂点なので、候補は $B, D, E$ である。

$γ = B$ のとき、 $(1 + ζ) α = α + 1$ より $ζ α = 1$ 。したがって

α = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i, β = 2, γ = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} i .

$γ = D$ のとき、 $(2 ζ - 1) α = α + 1$ より $(2 ζ - 2) α = 1$ 。したがって

α = - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i, β = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i, γ = \frac{3}{4} - \frac{3}{4} i .

$γ = E$ のとき、 $(ζ - 1) α = α + 1$ より $(ζ - 2) α = 1$ 。したがって

α = - \frac{1}{2} - \frac{3}{6} i, β = - \frac{2 3}{3} i, γ = \frac{1}{2} - \frac{3}{6} i .

3組に対応する正六角形は次の通りである。赤点が $α, β, γ$ に対応する3頂点を表す。

名古屋大学 2022年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

名古屋大学 2022年度
理系数学第3問