名古屋大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $\alpha \mathrm{\ne }0$ なので $$z=\frac{\beta }{\alpha }$$ とおく。条件 $$4{\alpha }^2-2\alpha \beta +{\beta }^2=0$$ を ${\alpha }^2$ で割ると $z^2-2z+4=0$ である。したがって $z=1\pm \sqrt{3}i$ である。

ここで $$\arg (1+\sqrt{3}i)=\frac{\pi }{3},\arg (1-\sqrt{3}i)=-\frac{\pi }{3}$$ であり、条件 $$0\leqq \arg \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)\leqq \pi$$ より $$\frac{\beta }{\alpha }=1+\sqrt{3}i$$ である。

正六角形の辺 $OA$ を表す複素数を $u$ とし、$$\omega =\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$ とおく。頂点は反時計回りに$$O=0,A=u,B=(1+\omega )u,C=2\omega u,D=(2\omega -1)u,E=(\omega -1)u$$と表せる。非零頂点どうしの比が $1+\sqrt{3}i=2\omega$ になるのは $A$ から $C$ への比だけである。したがって $$\alpha =A,\beta =C$$ である。

(2)
(1)より $\beta =2\omega \alpha$ である。また $\alpha ,\beta ,\gamma$ は互いに異なるので、$\gamma$ は $B,D,E$ のいずれかである。 $\lambda =\gamma \mathrm{/}\alpha$ とおくと、候補は $$\lambda =1+\omega ,2\omega -1,\omega -1$$ である。2つ目の方程式 $$2{\gamma }^2-(3\alpha +\beta +2)\gamma +(\alpha +1)(\alpha +\beta )=0$$ に $\beta =2\omega \alpha$、$\gamma =\lambda \alpha$ を代入し、$\alpha \mathrm{\ne }0$ で割ると$$\{2{\lambda }^2-(3+2\omega )\lambda +(1+2\omega )\}\alpha +(1+2\omega -2\lambda )=0$$である。したがって各候補について $\alpha$ は次のように決まる。$$\begin{array}{cccc}\gamma \text{ の頂点}& \lambda & \alpha & \gamma \\ B& 1+\omega & {\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i& {\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\\ D& 2\omega -1& -{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}i& {\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}i\\ E& \omega -1& -{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}i& {\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}i\end{array}$$さらに $\beta =2\omega \alpha$ より、得られる組は$$(\alpha ,\beta ,\gamma )=(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,2,\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i),$$$$(\alpha ,\beta ,\gamma )=(-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i),$$$$(\alpha ,\beta ,\gamma )=(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}i,-\frac{2\sqrt{3}}{3}i,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}i)$$である。

それぞれの組について、正六角形の頂点は次のように図示できる。第1の組では$$A=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,B=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,C=2,D=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,E=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\mathrm{.}$$第2の組では$$A=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i,B=-\frac{\sqrt{3}}{2}i,C=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,D=\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i,E=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$第3の組では$$A=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}i,B=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,C=-\frac{2\sqrt{3}}{3}i,D=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,E=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}i\mathrm{.}$$いずれも $O=0$ とし、上に列挙した $A,B,C,D,E$ を順に結べば、反時計回りの正六角形 $OABCDE$ になる。

(1) は $\beta \mathrm{/}\alpha$ を解いて、原点中心の回転・拡大として $A,C$ を特定する。(2)は2本目の方程式を $(2\gamma -\alpha -\beta )(\gamma -\alpha -1)=0$ と因数分解する。前者は対角線 $AC$ の中点で頂点にならないため $\gamma =\alpha +1$。あとは $\gamma =B,D,E$ の各回転倍率と比較して3組を得る。

(1) $\alpha \mathrm{\ne }0$ なので、最初の方程式を ${\alpha }^2$ で割ると$${\left(\frac{\beta }{\alpha }\right)}^2-2\frac{\beta }{\alpha }+4=0.$$よって$$\frac{\beta }{\alpha }=1\pm \sqrt{3}i\mathrm{.}$$偏角条件から負号は除かれ、$$\frac{\beta }{\alpha }=1+\sqrt{3}i=2(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})$$である。つまり $\alpha$ の点を原点のまわりに反時計回りに $\pi \mathrm{/}3$ 回転し、距離を2倍すると $\beta$ の点になる。正六角形 $OABCDE$ の頂点のうち、この関係になるのは$$\alpha =A,\beta =C$$だけである。

(2) 2本目の方程式は$$(2\gamma -\alpha -\beta )(\gamma -\alpha -1)=0$$と因数分解できる。$\gamma =(\alpha +\beta )\mathrm{/}2$ は線分 $AC$ の中点であり、正六角形の頂点ではない。したがって$$\gamma =\alpha +1$$である。$$\zeta =\cos (\pi \mathrm{/}3)+i\sin (\pi \mathrm{/}3)=(1+\sqrt{3}i)\mathrm{/}2$$ とおく。$A=\alpha$ を基準にすると$$B=(1+\zeta )\alpha ,C=2\zeta \alpha ,D=(2\zeta -1)\alpha ,E=(\zeta -1)\alpha \mathrm{.}$$$\gamma$ は $\alpha ,\beta$ と異なる非零頂点なので、候補は $B,D,E$ である。

$\gamma =B$ のとき、$$(1+\zeta )\alpha =\alpha +1$$ より $\zeta \alpha =1$。したがって$$\alpha =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\beta =2,\gamma =\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\mathrm{.}$$$\gamma =D$ のとき、$$(2\zeta -1)\alpha =\alpha +1$$ より $(2\zeta -2)\alpha =1$。したがって$$\alpha =-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i,\beta =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\gamma =\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i\mathrm{.}$$$\gamma =E$ のとき、$$(\zeta -1)\alpha =\alpha +1$$ より $(\zeta -2)\alpha =1$。したがって$$\alpha =-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}i,\beta =-\frac{2\sqrt{3}}{3}i,\gamma =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}i\mathrm{.}$$3組に対応する正六角形は次の通りである。赤点が $\alpha ,\beta ,\gamma$ に対応する3頂点を表す。