問題
以下の問いに答えよ．
(1) が整数のとき，をで割ったときの余りとをで割ったときの余りは等しいことを示せ．
(2) 整数が条件
(＊)
を満たすとき，をで割った余りはであることを示せ．
(3) を満たす整数の組で，(2)の条件(＊)を満たすものをすべて求めよ．
方針
解法1
(1)で を3連続整数の積にして6の倍数であることを示す。(2)ではこの結果を条件式に適用する。(3)では の剰余条件と の大きさを合わせ，候補を少数に絞る。
解法2（剰余表と上界による候補表）
(1)は6で割った余り0〜5を表にして直接確認する。(2)は表を条件式へ適用する。(3)はまず を示して に絞り，3候補を表で判定する。
解答
解法1
(1)
である。これは連続する3つの整数の積であるから，2の倍数であり，かつ3の倍数である。したがって6の倍数である。よって と を6で割った余りは等しい。
(2)
(1)より，任意の整数 について と は6で割った余りが等しい。条件式
の両辺を6で割った余りで比べると
である。したがって
となり， を6で割った余りは1である。
(3)
条件式は
と変形できる。また より であり，(2)から
のいずれかである。
一方， だから
である。 のときでも のもとで最小の立方和は であり，これは331を超える。したがって である。
かつ より
である。それぞれについて は
である。これを と比べると， は ， は のときに得られ， を与える整数 はない。
よって求める組は
である。
解法2（剰余表と上界による候補表）
(1)
を6で割った余りを とする。各余りについて計算すると
となる。よって と の6で割った余りは常に等しい。
(2)
(1)より
である。条件式の両辺を比較すると
だから
である。
(3)
条件式を整理すると
である。 より右辺は331以下なので， である。したがって であり，
である。(2)と合わせて に限られる。 より候補は3組である。
実際，中央は の判別式が177で平方数でない。よって
である。