岡山大学 2024年度 前期文系数学 第3問

(1)
任意の点 $O$ を基準にすると，重心 $G$ について$$\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}$$である。したがって$$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OG})=\vec{0}$$である。

(2) $$\vec{u}=\overrightarrow{PG}$$，$$\vec{a}=\overrightarrow{GA}$$，$$\vec{b}=\overrightarrow{GB}$$，$$\vec{c}=\overrightarrow{GC}$$ とおく。(1)より $$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$$ である。また$$\overrightarrow{PA}=\vec{u}+\vec{a},\overrightarrow{PB}=\vec{u}+\vec{b},\overrightarrow{PC}=\vec{u}+\vec{c}$$であるから，平方を展開して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{PA}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{PB}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{PC}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2+2\vec{u}\cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\mathrm{\mid }\overrightarrow{PG}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{GA}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{GB}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{GC}{\mathrm{\mid }}^2}\end{array}$$である。

(3)
(2)と同じく $$\vec{a}=\overrightarrow{GA},\vec{b}=\overrightarrow{GB},\vec{c}=\overrightarrow{GC}$$ とおく。すると$$\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a},\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b},\overrightarrow{CA}=\vec{a}-\vec{c}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{CA}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2)-2(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a})}\end{array}$$である。一方，$$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$$ より$$\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a})=0$$である。これを代入すると$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{CA}{\mathrm{\mid }}^2=3(\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2)$$であるから，求める等式が成り立つ。

(4)
三角形 $ABC$ の外心を $O_1$ とする。(2)で $P=O_1$ とすると$$3R^2=3\mathrm{\mid }\overrightarrow{O_{1}G}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{GA}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{GB}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{GC}{\mathrm{\mid }}^2$$である。右辺第1項は0以上なので$$3R^2\geqq \mathrm{\mid }\overrightarrow{GA}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{GB}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{GC}{\mathrm{\mid }}^2$$である。(3)を用いて$$3R^2\geqq \frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{CA}{\mathrm{\mid }}^2}{3}$$となるから，$$R^2\geqq \frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{CA}{\mathrm{\mid }}^2}{9}$$である。

3本のベクトルの平均と、3組の差の2乗和を結ぶ恒等式を一度証明する。この恒等式に$PA,PB,PC$を代入すると(2),(3)が同時に得られ、外心の代入だけで(4)へ進める。

(1)
任意の原点$O$に対し$$\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}\mathrm{.}$$両辺を3倍して移項すれば$$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\mathrm{.}$$(2)、(3)
任意の3本のベクトル$\vec{u},\vec{v},\vec{w}$と、その平均$$\vec{g}=\frac{\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}}{3}$$について、平方を展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{w}{\mathrm{\mid }}^2-3\mathrm{\mid }\vec{g}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{3}\{\mathrm{\mid }\vec{u}-\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{v}-\vec{w}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{w}-\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2\}\mathrm{.}\text{(*)}}\end{array}$$実際、右辺を展開すると$$\frac{2}{3}\{\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{w}{\mathrm{\mid }}^2-\vec{u}\cdot \vec{v}-\vec{v}\cdot \vec{w}-\vec{w}\cdot \vec{u}\}$$となり、左辺も$3\mathrm{\mid }\vec{g}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{/}3$を用いると同じ式になる。

ここで$$\vec{u}=\overrightarrow{PA},\vec{v}=\overrightarrow{PB},\vec{w}=\overrightarrow{PC}$$とする。その平均は$\overrightarrow{PG}$で、差は$$\vec{u}-\vec{v}=\overrightarrow{BA},\vec{v}-\vec{w}=\overrightarrow{CB},\vec{w}-\vec{u}=\overrightarrow{AC}$$である。よって$(\ast )$から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{\mid }PA{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }PB{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }PC{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\mathrm{\mid }PG{\mathrm{\mid }}^2+\frac{\mathrm{\mid }AB{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }BC{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }CA{\mathrm{\mid }}^2}{3}\mathrm{.}\text{(1)}}\end{array}$$(1)へ$P=G$を代入すると$$\mathrm{\mid }GA{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }GB{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }GC{\mathrm{\mid }}^2=\frac{\mathrm{\mid }AB{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }BC{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }CA{\mathrm{\mid }}^2}{3},$$これが(3)である。これを(1)へ戻せば$$\mathrm{\mid }PA{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }PB{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }PC{\mathrm{\mid }}^2=3\mathrm{\mid }PG{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }GA{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }GB{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }GC{\mathrm{\mid }}^2,$$となり(2)も得られる。

(4)
外心を$O_1$とする。(1)へ$P=O_1$を代入すると左辺は$3R^2$であるから$$3R^2=3\mathrm{\mid }{O}_{1}G{\mathrm{\mid }}^2+\frac{\mathrm{\mid }AB{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }BC{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }CA{\mathrm{\mid }}^2}{3}\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }{O}_{1}G{\mathrm{\mid }}^2\geqq 0$より$$R^2\geqq \frac{\mathrm{\mid }AB{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }BC{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }CA{\mathrm{\mid }}^2}{9}\mathrm{.}$$等号は$O_1=G$、すなわち三角形が正三角形のときに成立する。