岡山大学 2024年度文系数学第3問解答・解説

問題

平面上に三角形 $A B C$ を考え，その重心を $G$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　等式 $G A + GB + GC = 0$ が成り立つことを示せ．

(2)　平面上の任意の点 $P$ に対して，次の等式が成り立つことを示せ．

$∣ P A ∣^{2} + ∣ P B ∣^{2} + ∣ P C ∣^{2}$ $= 3∣ P G ∣^{2} + ∣ G A ∣^{2} + ∣ GB ∣^{2} + ∣ GC ∣^{2}$

(3)　次の等式が成り立つことを示せ．

$∣ G A ∣^{2} + ∣ GB ∣^{2} + ∣ GC ∣^{2}$ $= \frac{∣ A B ∣ ^{2} + ∣ B C ∣ ^{2} + ∣ C A ∣ ^{2}}{3}$

(4)　三角形 $A B C$ の外接円の半径を $R$ とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$R^{2} ≧ \frac{∣ A B ∣ ^{2} + ∣ B C ∣ ^{2} + ∣ C A ∣ ^{2}}{9}$

出典：岡山大学 2024年度前期文系第3問

方針

解法1（標準解法）

重心を基準に3頂点へのベクトルの和を0にし、平方展開の交差項を消す。(3)は辺ベクトルの差を展開し、(4)は(2)へ外心を代入する。

解法2（3点の分散恒等式）

3本のベクトルの平均と、3組の差の2乗和を結ぶ恒等式を一度証明する。この恒等式に $P A, P B, P C$ を代入すると(2),(3)が同時に得られ、外心の代入だけで(4)へ進める。

解答

解法1（標準解法）

(1)

任意の点 $O$ を基準にすると，重心 $G$ について

O G = \frac{O A + O B + O C}{3}

である。したがって

G A + GB + GC = (O A - O G) + (O B - O G) + (O C - O G) = 0

である。

(2)

$u = P G$ ， $a = G A$ ， $b = GB$ ， $c = GC$ とおく。(1)より $a + b + c = 0$ である。また

P A = u + a, P B = u + b, P C = u + c

であるから，平方を展開して

∣ P A ∣^{2} + ∣ P B ∣^{2} + ∣ P C ∣^{2} = 3∣ u ∣^{2} + ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} + 2 u \cdot (a + b + c) = 3∣ P G ∣^{2} + ∣ G A ∣^{2} + ∣ GB ∣^{2} + ∣ GC ∣^{2}

である。

(3)

(2)と同じく $a = G A, b = GB, c = GC$ とおく。すると

A B = b - a, B C = c - b, C A = a - c

である。よって

∣ A B ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2} + ∣ C A ∣^{2} = 2 (∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2}) - 2 (a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)

である。一方， $a + b + c = 0$ より

∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} + 2 (a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0

である。これを代入すると

∣ A B ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2} + ∣ C A ∣^{2} = 3 (∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2})

であるから，求める等式が成り立つ。

(4)

三角形 $A B C$ の外心を $O_{1}$ とする。(2)で $P = O_{1}$ とすると

3 R^{2} = 3∣ O_{1} G ∣^{2} + ∣ G A ∣^{2} + ∣ GB ∣^{2} + ∣ GC ∣^{2}

である。右辺第1項は0以上なので

3 R^{2} ≧ ∣ G A ∣^{2} + ∣ GB ∣^{2} + ∣ GC ∣^{2}

である。(3)を用いて

3 R^{2} ≧ \frac{∣ A B ∣ ^{2} + ∣ B C ∣ ^{2} + ∣ C A ∣ ^{2}}{3}

となるから，

R^{2} ≧ \frac{∣ A B ∣ ^{2} + ∣ B C ∣ ^{2} + ∣ C A ∣ ^{2}}{9}

である。

解法2（3点の分散恒等式）

(1)

任意の原点 $O$ に対し

O G = \frac{O A + O B + O C}{3} .

両辺を3倍して移項すれば

G A + GB + GC = 0 .

(2)、(3)

任意の3本のベクトル $u, v, w$ と、その平均

g = \frac{u + v + w}{3}

について、平方を展開すると

∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} + ∣ w ∣^{2} - 3∣ g ∣^{2} = \frac{1}{3} {∣ u - v ∣^{2} + ∣ v - w ∣^{2} + ∣ w - u ∣^{2}} . (*)

実際、右辺を展開すると

\frac{2}{3} {∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} + ∣ w ∣^{2} - u \cdot v - v \cdot w - w \cdot u}

となり、左辺も $3∣ g ∣^{2} = ∣ u + v + w ∣^{2} /3$ を用いると同じ式になる。

ここで

u = P A, v = P B, w = P C

とする。その平均は $P G$ で、差は

u - v = B A, v - w = C B, w - u = A C

である。よって $(*)$ から

∣ P A ∣^{2} + ∣ P B ∣^{2} + ∣ P C ∣^{2} = 3∣ P G ∣^{2} + \frac{∣ A B ∣ ^{2} + ∣ B C ∣ ^{2} + ∣ C A ∣ ^{2}}{3} . (1)

(1)へ $P = G$ を代入すると

∣ G A ∣^{2} + ∣ GB ∣^{2} + ∣ GC ∣^{2} = \frac{∣ A B ∣ ^{2} + ∣ B C ∣ ^{2} + ∣ C A ∣ ^{2}}{3},

これが(3)である。これを(1)へ戻せば

∣ P A ∣^{2} + ∣ P B ∣^{2} + ∣ P C ∣^{2} = 3∣ P G ∣^{2} + ∣ G A ∣^{2} + ∣ GB ∣^{2} + ∣ GC ∣^{2},

となり(2)も得られる。

(4)

外心を $O_{1}$ とする。(1)へ $P = O_{1}$ を代入すると左辺は $3 R^{2}$ であるから

3 R^{2} = 3∣ O_{1} G ∣^{2} + \frac{∣ A B ∣ ^{2} + ∣ B C ∣ ^{2} + ∣ C A ∣ ^{2}}{3} .

$∣ O_{1} G ∣^{2} ≧ 0$ より

R^{2} ≧ \frac{∣ A B ∣ ^{2} + ∣ B C ∣ ^{2} + ∣ C A ∣ ^{2}}{9} .

等号は $O_{1} = G$ 、すなわち三角形が正三角形のときに成立する。

岡山大学 2024年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（3点の分散恒等式）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（3点の分散恒等式）

(1)

(2)、(3)

(4)

岡山大学 2024年度
文系数学第3問