岡山大学 2024年度文系数学第4問解答・解説

問題

座標平面において，放物線 $y = - x^{2} + 1$ を $C,$ 原点を中心とする半径 $r$ の円を $D$ とする．ただし， $r > 0$ とする．放物線 $C$ と円 $D$ は共有点をもたないとする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $r$ の値の範囲を求めよ．

(2)　 $0 < θ < π$ のとき，円 $D$ 上の点 $(r cos θ, r sin θ)$ における $D$ の接線を $l$ とする．接線 $l$ と放物線 $C$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ．ただし， $S$ は $r$ と $sin θ$ を用いて表すこと．

出典：岡山大学 2024年度前期文系第4問

方針

解法1（標準解法）

共有点条件へ $u = x^{2}$ を導入して原点から放物線までの距離の最小値を求める。接線と放物線の交点方程式の判別式から根の差を出し、放物線弓形の積分を計算する。

解法2（平方完成した放物線弓形）

原点と放物線上の点との距離の2乗を $x$ で微分して(1)を確認する。(2)では接線と放物線の縦の差を平方完成し、対称区間上の $A^{2} - X^{2}$ の積分へ直接変換する。

解答

解法1（標準解法）

(1)

放物線 $C$ と円 $D$ が共有点をもつとすると， $y = 1 - x^{2}$ を円の方程式 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ に代入して

x^{2} + (1 - x^{2})^{2} = r^{2}

である。 $u = x^{2}$ とおくと $u ≧ 0$ で

u + (1 - u)^{2} = u^{2} - u + 1 = (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

である。したがって左辺の最小値は $\frac{3}{4}$ であり， $r^{2} ≧ \frac{3}{4}$ のとき共有点をもつ。共有点をもたない条件は

0 < r^{2} < \frac{3}{4}

であるから，求める範囲は

0 < r < \frac{3}{2}

である。

(2)

$s = sin θ, c = cos θ$ とおく。 $0 < θ < π$ より $s > 0$ である。円 $D$ 上の点 $(r c, r s)$ における接線 $l$ は

c x + sy = r

である。放物線 $y = - x^{2} + 1$ との交点の $x$ 座標は

- x^{2} + 1 = \frac{r - c x}{s}

すなわち

s x^{2} - c x + r - s = 0

を満たす。この二次方程式の判別式は

Δ = c^{2} - 4 s (r - s) = 1 + 3 s^{2} - 4 r s

である。(1)の範囲では $0 < r < \frac{3}{2}$ なので $Δ > 0$ であり，2交点が存在する。

接線と放物線の間の面積を求める。接線と放物線の差は

\frac{r - c x}{s} - (- x^{2} + 1) = x^{2} - \frac{c}{s} x + \frac{r}{s} - 1

である。この二次式の2つの根を $p < q$ とすると， $q - p = \frac{Δ}{s}$ である。2交点の間では放物線が接線より上にあるから，

S = \int_{p}^{q} (x - p) (q - x) d x = \frac{( q - p ) ^{3}}{6}

である。したがって

S = \frac{( 1 + 3 sin ^{2} θ - 4 r sin θ ) ^{3/2}}{6 sin ^{3} θ}

である。

解法2（平方完成した放物線弓形）

(1)

放物線上の点 $(x, 1 - x^{2})$ と原点との距離の2乗を

F (x) = x^{2} + (1 - x^{2})^{2} = x^{4} - x^{2} + 1

とする。

F^{'} (x) = 4 x^{3} - 2 x = 2 x (2 x^{2} - 1)

より、極値候補は $x = 0, \pm 1/ 2$ である。また $∣ x ∣ \to \infty$ で $F (x) \to \infty$ だから、

F (\pm \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}

が最小値である。したがって円が放物線と共有点をもたない条件は

0 < r^{2} < \frac{3}{4},

すなわち

0 < r < \frac{3}{2} .

(2)

$s = sin θ > 0, c = cos θ$ とおく。円上の点 $(r c, r s)$ での接線は

c x + sy = r .

よって接線は $y = (r - c x) / s$ であり、放物線と接線の縦の差は

H (x) = (- x^{2} + 1) - \frac{r - c x}{s} = - x^{2} + \frac{c}{s} x + 1 - \frac{r}{s} .

ここで

Δ = c^{2} - 4 s (r - s) = 1 + 3 s^{2} - 4 r s

とおくと、平方完成により

H (x) = \frac{Δ}{4 s ^{2}} - (x - \frac{c}{2 s})^{2} . (1)

まず $Δ > 0$ を確認する。

Δ = 3 (s - \frac{2 r}{3})^{2} + 1 - \frac{4 r ^{2}}{3} .

(1)の範囲 $r^{2} < 3/4$ より右辺は正である。したがって接線と放物線は異なる2点で交わり、(1)が正となる部分が囲まれた図形である。

X = x - \frac{c}{2 s}, A = \frac{Δ}{2 s}

とおくと、交点は $X = \pm A$ に対応する。よって

S = \int_{- A}^{A} (A^{2} - X^{2}) d X = [A^{2} X - \frac{X ^{3}}{3}]_{- A}^{A} = \frac{4 A ^{3}}{3} = \frac{Δ ^{3/2}}{6 s ^{3}} .

したがって

S = \frac{( 1 + 3 sin ^{2} θ - 4 r sin θ ) ^{3/2}}{6 sin ^{3} θ} .

$s > 0$ なので分母の符号や平方根の枝に曖昧さはない。

岡山大学 2024年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（平方完成した放物線弓形）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

解法2（平方完成した放物線弓形）

(1)

(2)

岡山大学 2024年度
文系数学第4問