岡山大学 2024年度 前期文系数学 第4問

(1)
放物線 $C$ と円 $D$ が共有点をもつとすると，$y=1-x^2$ を円の方程式 $x^2+y^2=r^2$ に代入して$$x^2+(1-x^2{)}^2=r^2$$である。$u=x^2$ とおくと $u\geqq 0$ で$$u+(1-u{)}^2=u^2-u+1={(u-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}$$である。したがって左辺の最小値は $\frac{3}{4}$ であり，$r^2\geqq \frac{3}{4}$ のとき共有点をもつ。共有点をもたない条件は$$0<r^2<\frac{3}{4}$$であるから，求める範囲は$$0<r<\frac{\sqrt{3}}{2}$$である。

(2) $$s=\sin \theta ,c=\cos \theta$$ とおく。$0<\theta <\pi$ より $s>0$ である。円 $D$ 上の点 $(rc,rs)$ における接線 $l$ は$$cx+sy=r$$である。放物線 $y=-x^2+1$ との交点の $x$ 座標は$$-x^2+1=\frac{r-cx}{s}$$すなわち$$s{x}^2-cx+r-s=0$$を満たす。この二次方程式の判別式は$$\mathrm{\Delta }=c^2-4s(r-s)=1+3s^2-4rs$$である。(1)の範囲では $$0<r<\frac{\sqrt{3}}{2}$$ なので $\mathrm{\Delta }>0$ であり，2交点が存在する。

接線と放物線の間の面積を求める。接線と放物線の差は$$\frac{r-cx}{s}-(-x^2+1)=x^2-\frac{c}{s}x+\frac{r}{s}-1$$である。この二次式の2つの根を $p<q$ とすると，$$q-p=\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{s}$$ である。2交点の間では放物線が接線より上にあるから，$$S={\int }_p^q(x-p)(q-x)dx=\frac{(q-p{)}^3}{6}$$である。したがって$$S=\frac{(1+3{\sin }^2\theta -4r\sin \theta {)}^{3\mathrm{/}2}}{6{\sin }^3\theta }$$である。

原点と放物線上の点との距離の2乗を$x$で微分して(1)を確認する。(2)では接線と放物線の縦の差を平方完成し、対称区間上の$A^2-X^2$の積分へ直接変換する。

(1)
放物線上の点$(x,1-x^2)$と原点との距離の2乗を$$F(x)=x^2+(1-x^2{)}^2=x^4-x^2+1$$とする。$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3-2x=2x(2x^2-1)$$より、極値候補は$x=0,\pm 1\mathrm{/}\sqrt{2}$である。また$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }$で$F(x)\to \mathrm{\infty }$だから、$$F(\pm \frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{3}{4}$$が最小値である。したがって円が放物線と共有点をもたない条件は$$0<r^2<\frac{3}{4},$$すなわち$$0<r<\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$(2)
$s=\sin \theta >0,c=\cos \theta$とおく。円上の点$(rc,rs)$での接線は$$cx+sy=r\mathrm{.}$$よって接線は$y=(r-cx)\mathrm{/}s$であり、放物線と接線の縦の差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle H(x)}& {\displaystyle =(-x^2+1)-\frac{r-cx}{s}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-x^2+\frac{c}{s}x+1-\frac{r}{s}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$\mathrm{\Delta }=c^2-4s(r-s)=1+3s^2-4rs$$とおくと、平方完成により$$\begin{array}{cccc}& H(x)=\frac{\mathrm{\Delta }}{4s^2}-{(x-\frac{c}{2s})}^2\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$まず$\mathrm{\Delta }>0$を確認する。$$\mathrm{\Delta }=3{(s-\frac{2r}{3})}^2+1-\frac{4r^2}{3}\mathrm{.}$$(1)の範囲$r^2<3\mathrm{/}4$より右辺は正である。したがって接線と放物線は異なる2点で交わり、(1)が正となる部分が囲まれた図形である。$$X=x-\frac{c}{2s},A=\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2s}$$とおくと、交点は$X=\pm A$に対応する。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-A}^A(A^2-X^2)dX}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[A^{2}X-\frac{X^3}{3}]}_{-A}^A}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4A^3}{3}=\frac{{\mathrm{\Delta }}^{3\mathrm{/}2}}{6s^3}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S=\frac{(1+3{\sin }^2\theta -4r\sin \theta {)}^{3\mathrm{/}2}}{6{\sin }^3\theta }\mathrm{.}$$$s>0$なので分母の符号や平方根の枝に曖昧さはない。