岡山大学 2024年度 前期文系数学 第2問

(1)
$x_{10}=0$ となるには，10回のうち表が5回，裏が5回出ればよい。したがって求める確率は$$\frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_5}{2^{10}}=\frac{252}{1024}=\frac{63}{256}$$である。

(2)
$x_{10}=0$ となる列は $${}_{10}{\mathrm{C}}_5=252$$ 通りである。このうち $x_5=1$ となる列は，最初の5回に表3回，残り5回に表2回が出る場合で$${}_5{\mathrm{C}}_3{}_5{\mathrm{C}}_2=100$$通りである。よって求める確率は$$\frac{252-100}{2^{10}}=\frac{19}{128}$$である。

(3)
時刻 $n$ に座標 $j$ にいる経路数を，途中で $0\leqq j\leqq 2$ を満たすものだけについて数える。$$\begin{array}{cccc}n& j=0& j=1& j=2\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 2& 1& 0& 1\\ 3& 0& 2& 0\\ 4& 2& 0& 2\\ 5& 0& 4& 0\\ 6& 4& 0& 4\\ 7& 0& 8& 0\\ 8& 8& 0& 8\\ 9& 0& 16& 0\end{array}$$最後に $x_{10}=0$ となるには，時刻9で $j=1$ にいる16通りから裏が出ればよい。したがって求める確率は$$\frac{16}{2^{10}}=\frac{1}{64}$$である。

偶数時刻の位置$0,2$だけを状態にし、2歩を一組にする。上限2では、どちらの状態からも位置0と位置2へ進む有効な2歩経路が各1通りとなるため、経路数が各組で2倍になる。

(1)
表5回、裏5回となる列を選んで$$\frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_5}{2^{10}}=\frac{63}{256}\mathrm{.}$$(2)
$x_{10}=0$となる${}_{10}{\mathrm{C}}_5=252$通りから、$x_5=1$となる$${}_5{\mathrm{C}}_3{}_5{\mathrm{C}}_2=100$$通りを除く。よって$$\frac{252-100}{2^{10}}=\frac{19}{128}\mathrm{.}$$(3)
条件を満たし、$2k$回後に位置$0,2$にいる経路数を$a_k,b_k$とする。位置0から2歩後に位置0,2へ行く有効経路は$$0\to 1\to 0,0\to 1\to 2$$の各1通りである。位置2からは$$2\to 1\to 0,2\to 1\to 2$$が各1通りである。$2\to 3$は条件外なので使えない。

したがって$$a_{k+1}=a_k+b_k,b_{k+1}=a_k+b_k\mathrm{.}$$初期値$(a_0,b_0)=(1,0)$から$$(a_1,b_1)=(1,1),$$以後は各組で両成分が2倍になる。よって$$(a_5,b_5)=(16,16)\mathrm{.}$$10回後に原点へ戻る有効経路は16通りなので$$\frac{16}{2^{10}}=\frac{1}{64}\mathrm{.}$$2歩遷移の中間点は必ず位置1であり、すべての時刻で$0\leqq x_n\leqq 2$を満たす。