岡山大学 2024年度 前期理系数学 第1問

(1)
$X=x^3$ とおくと$$x^{3m}-1=X^m-1=(X-1)(X^{m-1}+X^{m-2}+\cdots +X+1)$$である。したがって $x^{3m}-1$ は $x^3-1$ で割り切れる。

(2)
$x^2+x+1=0$ とみなして余りを考えると，$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ より $x^3$ の余りは $1$ である。よって $n$ を3で割った余りで分ければよい。$$\begin{array}{cc}n\text{ を }3\text{ で割った余り}& x^n-1\text{ の余り}\\ 0& 0\\ 1& x-1\\ 2& x^2-1=-x-2\end{array}$$したがって余りは，$n\equiv 0$ のとき $0$，$n\equiv 1$ のとき $x-1$，$n\equiv 2$ のとき $-x-2$ である。

(3)
$x^2-x+1=0$ とみなすと，$x^2=x-1$ であるから$$x^3=x(x-1)=x^2-x=-1$$である。したがって $x^6$ の余りは $1$ である。$2024=6\cdot 337+2$ より$$x^{2024}-1$$の余りは $x^2-1$ の余りに等しい。$x^2=x-1$ を用いて$$x^2-1=x-2$$であるから，求める余りは $x-2$ である。

2次式の2つの複素根で、余り$R(x)=ax+b$の値が元の多項式と一致することを用いる。根の累乗の周期から場合分けし、2点で一致する1次式を特定する。

(1)
$x^3$を一つの文字とみれば$$x^{3m}-1=(x^3{)}^m-1=(x^3-1)\{x^{3(m-1)}+x^{3(m-2)}+\cdots +x^3+1\}\mathrm{.}$$よって$x^{3m}-1$は$x^3-1$で割り切れる。

(2)
${\omega }^2+\omega +1=0$を満たす複素数$\omega$をとる。${\omega }^3=1$かつ$\omega \mathrm{\ne }1$で、$x^2+x+1$の2根は$\omega ,{\omega }^2$である。

$x^n-1$を$x^2+x+1$で割った余りを$R(x)$とする。$R$は1次以下であり、$$R(\omega )={\omega }^n-1,R({\omega }^2)={\omega }^{2n}-1$$を満たす。$n$を3で割った余りごとに調べる。$$\begin{array}{cccc}n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)& R(\omega )& R({\omega }^2)& R(x)\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& \omega -1& {\omega }^2-1& x-1\\ 2& {\omega }^2-1& \omega -1& -x-2\end{array}$$最後の行では${\omega }^2=-\omega -1$より${\omega }^2-1=-\omega -2$を用いた。2つの異なる点で値が一致する1次式は一意なので、$$\{\begin{array}{ll}0& (n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)),\\ x-1& (n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)),\\ -x-2& (n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3))\end{array}$$が求める余りである。

(3)
$x^2-x+1=0$の根を$\zeta$とすると$${\zeta }^2=\zeta -1,{\zeta }^3=-1,{\zeta }^6=1.$$$2024\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$なので$${\zeta }^{2024}-1={\zeta }^2-1=\zeta -2.$$もう一つの根についても同じ等式が成り立つ。したがって、余りは1次以下であることから一意に$$x-2$$と定まる。