岡山大学 2024年度 前期理系数学 第2問

(1)
$x_{10}=0$ となるには，10回のうち表が5回，裏が5回出ればよい。したがって求める確率は$$\frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_5}{2^{10}}=\frac{252}{1024}=\frac{63}{256}$$である。

(2)
まず $x_{10}=0$ となる列は $${}_{10}{\mathrm{C}}_5=252$$ 通りである。このうち $x_5=1$ となるには，最初の5回で表が3回，裏が2回出て，残り5回で表が2回，裏が3回出ればよい。したがってそのような列は$${}_5{\mathrm{C}}_3{}_5{\mathrm{C}}_2=100$$通りである。よって求める確率は$$\frac{252-100}{2^{10}}=\frac{152}{1024}=\frac{19}{128}$$である。

(3)
時刻 $n$ に座標 $j$ にいる経路数を数える。ただし途中では $0\leqq j\leqq 3$ のものだけを残す。各時刻の経路数は次のようになる。$$\begin{array}{ccccc}n& j=0& j=1& j=2& j=3\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 2& 1& 0& 1& 0\\ 3& 0& 2& 0& 1\\ 4& 2& 0& 3& 0\\ 5& 0& 5& 0& 3\\ 6& 5& 0& 8& 0\\ 7& 0& 13& 0& 8\\ 8& 13& 0& 21& 0\\ 9& 0& 34& 0& 21\end{array}$$最後に $x_{10}=0$ となるには，時刻9で $j=1$ にいる34通りから裏が出ればよい。したがって求める確率は$$\frac{34}{2^{10}}=\frac{17}{512}$$である。

偶数時刻には位置が偶数なので、許される状態は$0,2$だけになる。2回の投擲を1組とし、位置$0,2$間の遷移数を数える2状態の漸化式で、10歩後に原点へ戻る経路数を求める。

(1)
10回後に原点へ戻るには表と裏が5回ずつ必要である。全事象は$2^{10}$通りなので$$\frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_5}{2^{10}}=\frac{252}{1024}=\frac{63}{256}\mathrm{.}$$(2)
$x_{10}=0$となる252通りのうち、$x_5=1$となるものを除く。最初の5回は表3回、後半の5回は表2回であるから、除く経路数は$${}_5{\mathrm{C}}_3{}_5{\mathrm{C}}_2=100.$$よって$$\frac{252-100}{2^{10}}=\frac{19}{128}\mathrm{.}$$(3)
条件を満たし、$2k$回後に位置$0,2$にいる経路数をそれぞれ$a_k,b_k$とする。奇数時刻の位置は$1,3$だけなので、2歩を一組にすればこの2状態で閉じる。

位置0からは$$0\to 1\to 0,0\to 1\to 2$$が各1通りである。位置2から位置0へは$$2\to 1\to 0$$の1通り、位置2へ戻るのは$$2\to 1\to 2,2\to 3\to 2$$の2通りである。したがって$$a_{k+1}=a_k+b_k,b_{k+1}=a_k+2b_k\mathrm{.}$$初期値は$(a_0,b_0)=(1,0)$であり、$$\begin{array}{crrrrrr}k& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ a_k& 1& 1& 2& 5& 13& 34\\ b_k& 0& 1& 3& 8& 21& 55\end{array}$$となる。よって10回後に原点へ戻る有効経路は34通りで、求める確率は$$\frac{34}{2^{10}}=\frac{17}{512}\mathrm{.}$$各2歩遷移の中間点も$0\leqq x_n\leqq 3$に収まるものだけを列挙しているので、途中条件も満たしている。