岡山大学 2024年度 前期理系数学 第3問

(1)
点 $D$ は辺 $OA$ の延長上にあるから，$$\overrightarrow{OD}=s\vec{a}$$ とおける。すると$$\overrightarrow{CD}=s\vec{a}-\vec{c}$$である。$\overrightarrow{OC}\perp \overrightarrow{CD}$ より$$\vec{c}\cdot (s\vec{a}-\vec{c})=0$$である。$\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1$，$$\vec{a}\cdot \vec{c}=\cos \alpha$$ だから$$s\cos \alpha -1=0$$となり，$$s={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}$$ である。よって$$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{\cos \alpha }\vec{a}-\vec{c}$$である。同様に$$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{\cos \beta }\vec{b}-\vec{c}$$である。

(2)
(1)より$$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{CE}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\cos \alpha \cos \beta }-\frac{\vec{a}\cdot \vec{c}}{\cos \alpha }-\frac{\vec{b}\cdot \vec{c}}{\cos \beta }+\vec{c}\cdot \vec{c}$$である。したがって$$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{CE}=\frac{\cos \gamma }{\cos \alpha \cos \beta }-1=\frac{\cos \gamma -\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }$$である。また$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{CD}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1={\tan }^2\alpha ,\mathrm{\mid }\overrightarrow{CE}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{1}{{\cos }^2\beta }-1={\tan }^2\beta$$である。$$0<\alpha ,\beta <\frac{\pi }{2}$$ より長さは正だから，$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{CE}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{CD}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{CE}\mathrm{\mid }}=\frac{\cos \gamma -\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }$$である。

(3)
点 $D,E$ はそれぞれ直線 $OA,OB$ 上にあるので，平面 $DOE$ は平面 $OAB$ と同じである。平面 $OAB$ を $xy$ 平面とし，$$\vec{a}=(1,0,0),\vec{b}=(\cos \gamma ,\sin \gamma ,0)$$とおく。$\vec{c}=(u,v,w)$ とすると，$$\vec{a}\cdot \vec{c}=\cos \alpha$$ より$$u=\cos \alpha$$である。また $$\vec{b}\cdot \vec{c}=\cos \beta$$ より$$u\cos \gamma +v\sin \gamma =\cos \beta$$である。$$\cos \gamma =\cos \alpha \cos \beta$$ を用いると$$v=\frac{\cos \beta -\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \gamma }=\frac{\cos \beta {\sin }^2\alpha }{\sin \gamma }$$である。さらに $$\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha$$ だから $\cos \beta =\sin \alpha$ であり，$$u=\cos \alpha ,v=\frac{{\sin }^3\alpha }{\sin \gamma }$$となる。

$\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1$ なので，点 $C$ から平面 $OAB$ までの距離は$$CP=\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=\sqrt{1-u^2-v^2}$$である。ここで $$\cos \gamma =\sin \alpha \cos \alpha >0$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C{P}^2}& {\displaystyle =1-{\cos }^2\alpha -\frac{{\sin }^6\alpha }{{\sin }^2\gamma }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\sin }^2\alpha ({\sin }^2\gamma -{\sin }^4\alpha )}{{\sin }^2\gamma }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\gamma }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\cos }^2\gamma }{{\sin }^2\gamma }}\end{array}$$である。よって$$CP=\frac{\cos \gamma }{\sin \gamma }=\frac{1}{\tan \gamma }$$である。

前半の内積計算で$CD=\tan \alpha ,CE=\tan \beta$も得る。条件から$CD\perp CE$となるため、四面体$CDEO$を底面$CDE$と底面$ODE$の2通りで表し、同じ体積を等置して$CP$を求める。

(1)
$D$は$OA$の延長上にあるから$\overrightarrow{OD}=s\vec{a}$と書ける。$OC\perp CD$より$$\vec{c}\cdot (s\vec{a}-\vec{c})=0,$$すなわち$s\cos \alpha =1$である。よって$$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{\cos \alpha }\vec{a}-\vec{c}\mathrm{.}$$同様に$$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{\cos \beta }\vec{b}-\vec{c}\mathrm{.}$$(2)
内積を計算すると$$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{CE}=\frac{\cos \gamma -\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }\mathrm{.}$$また$\mathrm{△}OCD,\mathrm{△}OCE$は$C$で直角で、$$OD=\frac{1}{\cos \alpha },OC=1,OE=\frac{1}{\cos \beta }$$だから$$CD=\tan \alpha ,CE=\tan \beta \mathrm{.}$$したがって$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{CE}}{CD\cdot CE}=\frac{\cos \gamma -\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }\mathrm{.}$$(3)
条件$\cos \gamma =\cos \alpha \cos \beta$を(2)へ代入すると$$\cos \theta =0.$$$0<\theta <\pi$より$\theta =\pi \mathrm{/}2$で、$CD\perp CE$である。さらに$OC$は$CD,CE$の両方に垂直だから、$OC$は平面$CDE$に垂直である。

四面体$CDEO$の体積を、底面を$CDE$として求める。$OC=1$、$\beta =\pi \mathrm{/}2-\alpha$より$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}CD\cdot CE\cdot OC}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{6}\tan \alpha \tan \beta =\frac{1}{6}\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(1)}\end{array}$$一方、$D,E$はそれぞれ直線$OA,OB$上にあるので$\mathrm{\angle }DOE=\gamma$であり、$$OD=\frac{1}{\cos \alpha },OE=\frac{1}{\cos \beta }\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle [\mathrm{△}ODE]}& {\displaystyle =\frac{1}{2}OD\cdot OE\sin \gamma }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\sin \gamma }{2\cos \alpha \cos \beta }=\frac{1}{2}\tan \gamma \mathrm{.}}\end{array}$$最後の等号では$\cos \gamma =\cos \alpha \cos \beta$を用いた。底面を$ODE$、高さを$CP$として同じ四面体の体積を表すと$$\begin{array}{cccc}& V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\tan \gamma \cdot CP=\frac{CP\tan \gamma }{6}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$(1),(2)を等置して$$CP=\frac{1}{\tan \gamma }\mathrm{.}$$$0<\gamma <\pi \mathrm{/}2$は$\cos \gamma =\sin \alpha \cos \alpha >0$から従うので、右辺は正の長さとして整合する。