岡山大学 2024年度理系数学第3問解答・解説

問題

四面体 $O A B C$ において， $O A = O B = O C = 1$ とし， $∠ C O A = α,$ $∠ C O B = β,$ $∠ A O B = γ$ とする．ただし， $0 < α < \frac{π}{2},$ $0 < β < \frac{π}{2}$ とする．辺 $O A$ の延長上に点 $D$ を $O C$ と $C D$ が垂直になるようにとり，辺 $O B$ の延長上に点 $E$ を $O C$ と $C E$ が垂直になるようにとる． $∠ D C E = θ$ とし， $O A = a,$ $O B = b,$ $O C = c$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $C D$ を $a,$ $c,$ $cos α$ を用いて表せ．また， $C E$ を $b,$ $c,$ $cos β$ を用いて表せ．

(2)　 $cos θ$ を $sin α,$ $cos α,$ $sin β,$ $cos β,$ $cos γ$ を用いて表せ．

(3)　 $cos γ = cos α cos β,$ $β = \frac{π}{2} - α$ とする．点 $C$ から平面 $D O E$ に下ろした垂線の足を $P$ とするとき， $C P = \frac{1}{t a n γ}$ となることを示せ．

出典：岡山大学 2024年度前期理系第3問

方針

解法1（標準解法）

直線 $O A, O B$ 上の点を実数倍で表し、 $O C$ との直交条件から $C D, C E$ を決める。後半は平面 $D O E = O A B$ を座標平面に置き、 $C$ の平面外成分を計算する。

解法2（直角三角形と四面体の体積）

前半の内積計算で $C D = tan α, C E = tan β$ も得る。条件から $C D ⊥ C E$ となるため、四面体 $C D E O$ を底面 $C D E$ と底面 $O D E$ の2通りで表し、同じ体積を等置して $C P$ を求める。

解答

解法1（標準解法）

(1)

点 $D$ は辺 $O A$ の延長上にあるから， $O D = s a$ とおける。すると

C D = s a - c

である。 $O C ⊥ C D$ より

c \cdot (s a - c) = 0

である。 $∣ c ∣ = 1$ ， $a \cdot c = cos α$ だから

s cos α - 1 = 0

となり， $s = \frac{1}{cos α}$ である。よって

C D = \frac{1}{cos α} a - c

である。同様に

C E = \frac{1}{cos β} b - c

である。

(2)

(1)より

C D \cdot C E = \frac{a \cdot b}{cos α cos β} - \frac{a \cdot c}{cos α} - \frac{b \cdot c}{cos β} + c \cdot c

である。したがって

C D \cdot C E = \frac{cos γ}{cos α cos β} - 1 = \frac{cos γ - cos α cos β}{cos α cos β}

である。また

∣ C D ∣^{2} = \frac{1}{cos ^{2} α} - 1 = tan^{2} α, ∣ C E ∣^{2} = \frac{1}{cos ^{2} β} - 1 = tan^{2} β

である。 $0 < α, β < \frac{π}{2}$ より長さは正だから，

cos θ = \frac{C D \cdot C E}{∣ C D ∣∣ C E ∣} = \frac{cos γ - cos α cos β}{sin α sin β}

である。

(3)

点 $D, E$ はそれぞれ直線 $O A, O B$ 上にあるので，平面 $D O E$ は平面 $O A B$ と同じである。平面 $O A B$ を $x y$ 平面とし，

a = (1, 0, 0), b = (cos γ, sin γ, 0)

とおく。 $c = (u, v, w)$ とすると， $a \cdot c = cos α$ より

u = cos α

である。また $b \cdot c = cos β$ より

u cos γ + v sin γ = cos β

である。 $cos γ = cos α cos β$ を用いると

v = \frac{cos β - cos α cos γ}{sin γ} = \frac{cos β sin ^{2} α}{sin γ}

である。さらに $β = \frac{π}{2} - α$ だから $cos β = sin α$ であり，

u = cos α, v = \frac{sin ^{3} α}{sin γ}

となる。

$∣ c ∣ = 1$ なので，点 $C$ から平面 $O A B$ までの距離は

C P = ∣ w ∣ = 1 - u^{2} - v^{2}

である。ここで $cos γ = sin α cos α > 0$ であるから

C P^{2} = 1 - cos^{2} α - \frac{sin ^{6} α}{sin ^{2} γ} = \frac{sin ^{2} α ( sin ^{2} γ - sin ^{4} α )}{sin ^{2} γ} = \frac{sin ^{2} α cos ^{2} α}{sin ^{2} γ} = \frac{cos ^{2} γ}{sin ^{2} γ}

である。よって

C P = \frac{cos γ}{sin γ} = \frac{1}{tan γ}

である。

解法2（直角三角形と四面体の体積）

(1)

$D$ は $O A$ の延長上にあるから $O D = s a$ と書ける。 $O C ⊥ C D$ より

c \cdot (s a - c) = 0,

すなわち $s cos α = 1$ である。よって

C D = \frac{1}{cos α} a - c .

同様に

C E = \frac{1}{cos β} b - c .

(2)

内積を計算すると

C D \cdot C E = \frac{cos γ - cos α cos β}{cos α cos β} .

また $△ O C D, △ O C E$ は $C$ で直角で、

O D = \frac{1}{cos α}, O C = 1, O E = \frac{1}{cos β}

だから

C D = tan α, C E = tan β .

したがって

cos θ = \frac{C D \cdot C E}{C D \cdot C E} = \frac{cos γ - cos α cos β}{sin α sin β} .

(3)

条件 $cos γ = cos α cos β$ を(2)へ代入すると

cos θ = 0.

$0 < θ < π$ より $θ = π /2$ で、 $C D ⊥ C E$ である。さらに $O C$ は $C D, C E$ の両方に垂直だから、 $O C$ は平面 $C D E$ に垂直である。

四面体 $C D E O$ の体積を、底面を $C D E$ として求める。 $O C = 1$ 、 $β = π /2 - α$ より

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} C D \cdot C E \cdot O C = \frac{1}{6} tan α tan β = \frac{1}{6} . (1)

一方、 $D, E$ はそれぞれ直線 $O A, O B$ 上にあるので $∠ D O E = γ$ であり、

O D = \frac{1}{cos α}, O E = \frac{1}{cos β} .

したがって

[△ O D E] = \frac{1}{2} O D \cdot O E sin γ = \frac{sin γ}{2 cos α cos β} = \frac{1}{2} tan γ .

最後の等号では $cos γ = cos α cos β$ を用いた。底面を $O D E$ 、高さを $C P$ として同じ四面体の体積を表すと

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} tan γ \cdot C P = \frac{C P tan γ}{6} . (2)

(1),(2)を等置して

C P = \frac{1}{tan γ} .

$0 < γ < π /2$ は $cos γ = sin α cos α > 0$ から従うので、右辺は正の長さとして整合する。

岡山大学 2024年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（直角三角形と四面体の体積）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

解法2（直角三角形と四面体の体積）

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2024年度
理系数学第3問