岡山大学 2024年度 前期理系数学 第4問

(1)
線分 $S$ 上で $(0,1)$ から距離 $t$ の点は$$P=(\frac{t}{\sqrt{2}},1-\frac{t}{\sqrt{2}})$$である。直線 $x+y=1$ の傾きは $-1$ なので，これに垂直な直線 $l$ の傾きは $1$ である。よって$$y-(1-\frac{t}{\sqrt{2}})=x-\frac{t}{\sqrt{2}}$$すなわち$$y=x+1-\sqrt{2}t$$である。

(2) $$d=1-\sqrt{2}t$$ とおくと，直線 $l$ は $y-x=d$ である。曲線 $C$ 上の点 $Q=(x,y)$ に対し，$$u=\sqrt{x},v=\sqrt{y}$$ とおくと$$u+v=1,y-x=v^2-u^2=(v-u)(v+u)=v-u$$である。したがって $v-u=d$ であり，$$x+y=u^2+v^2=\frac{1+d^2}{2}$$となる。直線 $l$ は $S$ に垂直であるから，$$PQ=\frac{1-(x+y)}{\sqrt{2}}=\frac{1-d^2}{2\sqrt{2}}$$である。$$d=1-\sqrt{2}t$$ を代入して$$PQ=t-\frac{t^2}{\sqrt{2}}$$である。

(3)
軸 $x+y=1$ に垂直な断面は半径 $PQ$ の円である。したがって求める体積は$$V=\pi {\int }_0^{\sqrt{2}}{(t-\frac{t^2}{\sqrt{2}})}^{2}dt$$である。計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{\sqrt{2}}(t^2-\sqrt{2}{t}^3+\frac{t^4}{2})dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {[\frac{t^3}{3}-\frac{\sqrt{2}{t}^4}{4}+\frac{t^5}{10}]}_0^{\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\pi }{15}}\end{array}$$である。

$p=\sqrt{x}$で曲線$C$を$(p^2,(1-p{)}^2)$と媒介表示する。曲線上の点から回転軸への垂線の足までの軸方向距離$t$と垂直距離$PQ$を$p$で直接表し、$p$を積分変数にする。

(1)
$S$の$(0,1)$から$(1,0)$への単位方向ベクトルは$$\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$$なので$$P=(\frac{t}{\sqrt{2}},1-\frac{t}{\sqrt{2}})\mathrm{.}$$$S$に垂直な直線の傾きは1であるから$$l:y=x+1-\sqrt{2}t\mathrm{.}$$(2)
曲線$C$上で$p=\sqrt{x}$とおくと$0\leqq p\leqq 1$で、$$Q=(p^2,(1-p{)}^2)$$と媒介表示できる。

点$Q=(x,y)$から直線$x+y=1$へ下ろした垂線の足を$P$とすると、$(0,1)$から$P$までの軸方向の符号つき距離は$$t=\frac{x-y+1}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$ここに$x=p^2,y=(1-p{)}^2$を代入して$$t=\sqrt{2}p,p=\frac{t}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$また、$Q$から軸までの距離は$$PQ=\frac{1-x-y}{\sqrt{2}}=\frac{1-p^2-(1-p{)}^2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}p(1-p)\mathrm{.}$$したがって$$PQ=t-\frac{t^2}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$(3)
回転軸に垂直な断面は半径$PQ$の円である。$t=\sqrt{2}p$より$dt=\sqrt{2}dp$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^1\{\sqrt{2}p(1-p){\}}^2\sqrt{2}dp}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{2}\pi {\int }_0^1(p^2-2p^3+p^4)dp}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{2}\pi (\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\pi }{15}\mathrm{.}}\end{array}$$端点$p=0,1$では半径が0となり、積分区間全体が図形$D$を一度ずつ走る。