岡山大学 2024年度理系数学第4問解答・解説

問題

座標平面上で，線分 $S : x + y = 1$ $(0 ≦ x ≦ 1)$ と曲線 $C : x + y = 1$ で囲まれた図形 $D$ を考える． $S$ 上に点 $(0, 1)$ からの距離が $t$ となる点 $P$ をとる．このとき， $0 ≦ t ≦ 2$ である．また，点 $P$ を通り，直線 $x + y = 1$ と垂直に交わる直線を $l$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　直線 $l$ の方程式を $t$ を用いて表せ．

(2)　直線 $l$ と曲線 $C$ の交点を $Q$ とする．線分 $P Q$ の長さを $t$ を用いて表せ．

(3)　図形 $D$ を直線 $x + y = 1$ のまわりに $1$ 回転してできる回転体の体積を求めよ．

出典：岡山大学 2024年度前期理系第4問

方針

解法1（標準解法）

点 $P$ を軸上の距離 $t$ で表し、 $u = x, v = y$ で曲線条件と垂線条件を一次化する。 $P Q$ を回転半径として円板法で積分する。

解法2（曲線の媒介変数）

$p = x$ で曲線 $C$ を $(p^{2}, (1 - p)^{2})$ と媒介表示する。曲線上の点から回転軸への垂線の足までの軸方向距離 $t$ と垂直距離 $P Q$ を $p$ で直接表し、 $p$ を積分変数にする。

解答

解法1（標準解法）

(1)

線分 $S$ 上で $(0, 1)$ から距離 $t$ の点は

P = (\frac{t}{2}, 1 - \frac{t}{2})

である。直線 $x + y = 1$ の傾きは $- 1$ なので，これに垂直な直線 $l$ の傾きは $1$ である。よって

y - (1 - \frac{t}{2}) = x - \frac{t}{2}

すなわち

y = x + 1 - 2 t

である。

(2)

$d = 1 - 2 t$ とおくと，直線 $l$ は $y - x = d$ である。曲線 $C$ 上の点 $Q = (x, y)$ に対し， $u = x, v = y$ とおくと

u + v = 1, y - x = v^{2} - u^{2} = (v - u) (v + u) = v - u

である。したがって $v - u = d$ であり，

x + y = u^{2} + v^{2} = \frac{1 + d ^{2}}{2}

となる。直線 $l$ は $S$ に垂直であるから，

P Q = \frac{1 - ( x + y )}{2} = \frac{1 - d ^{2}}{2 2}

である。 $d = 1 - 2 t$ を代入して

P Q = t - \frac{t ^{2}}{2}

である。

(3)

軸 $x + y = 1$ に垂直な断面は半径 $P Q$ の円である。したがって求める体積は

V = π \int_{0}^{2} (t - \frac{t ^{2}}{2})^{2} d t

である。計算すると

V = π \int_{0}^{2} (t^{2} - 2 t^{3} + \frac{t ^{4}}{2}) d t = π [\frac{t ^{3}}{3} - \frac{2 t ^{4}}{4} + \frac{t ^{5}}{10}]_{0}^{2} = \frac{2 π}{15}

である。

解法2（曲線の媒介変数）

(1)

$S$ の $(0, 1)$ から $(1, 0)$ への単位方向ベクトルは

\frac{1}{2} (1, - 1)

なので

P = (\frac{t}{2}, 1 - \frac{t}{2}) .

$S$ に垂直な直線の傾きは1であるから

l : y = x + 1 - 2 t .

(2)

曲線 $C$ 上で $p = x$ とおくと $0 ≦ p ≦ 1$ で、

Q = (p^{2}, (1 - p)^{2})

と媒介表示できる。

点 $Q = (x, y)$ から直線 $x + y = 1$ へ下ろした垂線の足を $P$ とすると、 $(0, 1)$ から $P$ までの軸方向の符号つき距離は

t = \frac{x - y + 1}{2} .

ここに $x = p^{2}, y = (1 - p)^{2}$ を代入して

t = 2 p, p = \frac{t}{2} .

また、 $Q$ から軸までの距離は

P Q = \frac{1 - x - y}{2} = \frac{1 - p ^{2} - ( 1 - p ) ^{2}}{2} = 2 p (1 - p) .

したがって

P Q = t - \frac{t ^{2}}{2} .

(3)

回転軸に垂直な断面は半径 $P Q$ の円である。 $t = 2 p$ より $d t = 2 d p$ だから

V = π \int_{0}^{1} {2 p (1 - p)}^{2} 2 d p = 22 π \int_{0}^{1} (p^{2} - 2 p^{3} + p^{4}) d p = 22 π (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5}) = \frac{2 π}{15} .

端点 $p = 0, 1$ では半径が0となり、積分区間全体が図形 $D$ を一度ずつ走る。

岡山大学 2024年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（曲線の媒介変数）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

解法2（曲線の媒介変数）

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2024年度
理系数学第4問