岡山大学 2025年度 前期文系数学 第1問

(1)
$3\cdot 4+11\cdot (-1)=1$ であるから，整数解の一つは$$(x,y)=(4,-1)$$である。

(2)
(1)より $(4000,-1000)$ は $3x+11y=1000$ の整数解である。したがって$$3(x-4000)+11(y+1000)=0$$であり，$3$ と $11$ は互いに素だから，整数 $t$ を用いて$$x=4000+11t,y=-1000-3t$$と表される。逆にこの形の $x,y$ はすべて $3x+11y=1000$ を満たすので，求める整数解は$$(x,y)=(4000+11t,-1000-3t)(t\text{ は整数})$$である。

(3)
(2)の一般解について$$x-y=5000+14t$$である。$t$ は整数なので，$5000+14t$ を0に最も近くするには，$$-\frac{5000}{14}=-357-\frac{1}{7}$$ に最も近い整数 $t=-357$ を選べばよい。このとき$$\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }5000-4998\mathrm{\mid }=2$$であり，$$(x,y)=(73,71)$$である。よって最小値は $2$，そのとき $x=73,y=71$ である。

$3x\equiv 1000(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ から $x=7+11k$ を得て，$y=89-3k$ とする。$\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }14k-82\mathrm{\mid }$ が最小になる整数 $k$ を選ぶ。

(1) $3\cdot 4+11\cdot (-1)=1$ より，例えば $(x,y)=(4,-1)$ である。

(2) $3x+11y=1000$ を $11$ を法として見ると $3x\equiv 10(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ である。$3$ の逆数は $4$ だから $x\equiv 7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ となる。したがって$$(x,y)=(7+11k,89-3k)(k\in \mathbb{Z})$$が全整数解である。

(3) $$x-y=14k-82$$である。$82\mathrm{/}14=5+6\mathrm{/}7$ に最も近い整数は $k=6$ であり，$$\mathrm{\mid }14\cdot 6-82\mathrm{\mid }=2.$$このとき $(x,y)=(73,71)$ である。よって最小値は2である。